I. I. Généralités sur les suitesGénéralités sur les suites SUITES

SUITES

I. Généralités sur les suites (rappels de Première ES) ... 1

I.1 Définition ... 1

I.2 Sens de variation ... 1

II. Suites arithmétiques ... 3

III. Suites géométriques ... 4

IV. Limite d’une suite ... 6

IV.1 Définitions ... 6

IV.2 Limite d’une suite géométrique ... 7

I. Généralités sur les suites I. Généralités sur les suites

I.1 Définition

D É F I N I T I O N

D É F I N I T I O N. . Une suite numérique réelle est ...

...… . L'image de l'entier naturel n par une suite u est notée ^u(n) ou ^un. u_n est appelé ... de la suite ou terme d'indice ⁿ. Attention aux notations : ^un ≠ ^(un) et ^un+1≠u_n+1

Exemples : - la suite (un) définie par u_n=−2n+8 .

- la suite (vn) définie par v₀=5 et, pour tout entier naturel n : v_n+1=−2v_n+5 . I.2 Sens de variation

D É F I N I T I O N S D É F I N I T I O N S. .

(u_n) est croissante lorsque pour tout entier n, ...

(u_n) est strictement croissante lorsque pour tout entier n, ...

(u_n) est décroissante lorsque pour tout entier n, ...

(u_n) est strictement décroissante lorsque pour tout entier n, ...

(u_n) est constante lorsque pour tout entier n, ...

Exemple : Étudier la variation de la suite (u_n) définie par un=2n²+3 .

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Méthodes pour étudier le sens de variations d'une suite (u_n) :

- Si la suite est de la forme ^un=f(n), son sens de variations est celui de la fonction f ^*. - On étudie le signe de la différence ^u_n+1−u_n

- Si ^un>0 (termes tous strictement positifs), on compare le quotient avec 1.

* Attention : la condition est suffisante, mais pas nécessaire, c'est-à-dire que la suite peut être croissante alors que la fonction ne l'est pas, par exemple :

Exemples :

- Étudier la variation de la suite (vn) définie par v₀=−50 et v_n+1=v_n+2n+10 .

- Étudier la variation de la suite (wn) définie par w_n=−8n²+5n+7 .

II. Suites arithmétiques II. Suites arithmétiques

S u i t e a r i t h m é t i q u e d e r a i s o n r Définition

Terme général

Montrer qu'une suite est arithmétique

Sens de variation

Exemple : On s’intéresse à l’évolution de la fréquentation d'un grand camping situé en France. En moyenne, la fréquentation entre 2012 et 2018 a augmenté de 1143 clients par an, avec 15 000 personnes en 2018.

On considère donc qu'à partir de 2018, la fréquentation augmentera chaque année de 1143 clients.

On note alors v_n la fréquentation du camping pour l'année (2018 + n).

1. Quelle est la nature de la suite (v_n) ? Justifier. 2. Exprimer v_n en fonction de n.

Complément

Sauriez-vous calculer rapidement 1+2+3+4+…+100 ? Et le nombre de clients sur la période 2018-2050 ?

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III.

III. Suites géométriques Suites géométriques

S u i t e g é o m é t r i q u e d e r a i s o n q Définition

Terme général

Montrer qu'une suite est géométrique

Sens de variation

Exemple :

P R O P R I É T É

P R O P R I É T É . . S o m m e d e s t e r m e s d ’ u n e s u i t e g é o m é t r i q u eS o m m e d e s t e r m e s d ’ u n e s u i t e g é o m é t r i q u e

Soit (un) une suite géométrique de raison q avec q≠1 . Pour tout entier naturel n : 1+q+q²+q³+…+qⁿ =

Démonstration :

Exemple 1 : Imaginons… Je vous offre 1 € aujourd’hui. Puis, chaque jour du mois en cours, je double cette quantité et je vous la donne. De quelle quantité d’argent disposerez-vous à la fin du mois ?

Exemple 2 : On s’intéresse à l’évolution de la fréquentation d'un grand camping situé en France (15 000 clients en 2018). En moyenne, la fréquentation entre 2012 et 2018 a augmenté de 4,1 % par an.

On considère donc qu'à partir de 2018, la fréquentation augmentera chaque année de 4,1 %.

Déterminer le nombre de clients sur la période 2018-2050 ?

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IV. Limite d’une suite IV. Limite d’une suite

IV.1 Définitions

D É F I N I T I O N D É F I N I T I O N. .

Une suite (u_n) admet pour limite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On dit alors que (u_n) est convergente et converge vers l . Notation : lim_{n →+∞}u_n=l .

D É F I N I T I O N D É F I N I T I O N. .

Une suite (u_n) admet pour limite +∞ si tout intervalle du type ]A;+∞[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On dit alors que (u_n) est divergente vers +∞ . Notation : lim_{n →+∞}u_n=+∞.

IV.2 Limite d’une suite géométrique PROPRIÉTÉS

PROPRIÉTÉS.. Soit q>0 .

Complément

Déterminer la limite d’une suite géométrique de raison q avec q>0 .

Exercice type :

T°ES/Lspé - SUITES (J. Mathieu) Page 7 sur 7 Admises

q 0<q<1 q=1 q>1

n →+∞lim qⁿ