LIMITES ET VARIATIONS DE SUITES

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Chap.11 :

LIMITES ET VARIATIONS DE SUITES

Partie 1 : Monotonie d’une suite a) Cas général

Définition : monotonie d’une suite

Soit un entier 𝑝 et une suite numérique (𝑢_$).

§ On dit que la suite (𝑢_$) est croissante à partir du rang 𝒑 si, pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑝, on a 𝑢_$)*≥ 𝑢_$.

§ On dit que la suite (𝑢_$) est décroissante à partir du rang 𝒑 si, pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑝, on a 𝑢_$)*≤ 𝑢_$

Remarque : 𝑝 peut évidemment valoir 0.

Exemple : on a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers termes d'une suite (𝑢_$) :

On peut conjecturer que cette suite est croissante pour 𝑛 ≥ 3.

Méthodes pour étudier la monotonie d’une suite :

Méthode 1 :

Si la suite (𝑢_$) est définie par récurrence (𝑢_$)*= 𝑓(𝑢_$)) ou de manière explicite (𝑢_$= 𝑓(𝑛)) : à On peut s’intéresser au signe de 𝑢_$)*− 𝑢_$

Méthode 2 :

Si la suite (𝑢_$) est définie par récurrence (𝑢_$)*= 𝑓(𝑢_$)) ou de manière explicite (𝑢_$= 𝑓(𝑛)) et ne comporte que des termes positifs :

à On peut comparer le quotient ²₂³⁴⁵

3 à 1 Méthode 3 :

Si la suite (𝑢$) est définie de manière explicite (𝑢$= 𝑓(𝑛)) uniquement :

à On peut étudier les variations de la fonction 𝑓 qui induiront les variations de la suite Propriété :

Soit une fonction 𝑓 définie sur [0; +∞[et une suite numérique (𝑢_$) définie sur ℕ par 𝑢_$= 𝑓(𝑛). Soit un entier 𝑝.

• Si 𝑓 est croissante sur l'intervalle [𝑝; +∞[, alors la suite (𝑢_$) est croissante à partir du rang 𝑝.

• Si 𝑓 est décroissante sur l'intervalle [𝑝; +∞[, alors la suite (𝑢_$) est décroissante à partir du rang 𝑝.

Attention, la réciproque cette propriété est fausse.

La représentation ci-contre montre une suite décroissante alors que la fonction 𝑓 n'est pas décroissante.

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Exemples :

1) Pour tout 𝑛 de ℕ, on donne la suite (𝑢_$) définie par : 𝑢$ = 𝑛^<− 4𝑛 + 4.

On utilise la méthode 1 :

𝑢_$)*− 𝑢_$ = (𝑛 + 1)^<− 4(𝑛 + 1) + 4 − 𝑛^<+ 4𝑛 − 4 = 𝑛^<+ 2𝑛 + 1 − 4𝑛 − 4 + 4 − 𝑛^<+ 4𝑛 − 4

= 2𝑛 − 3

𝑢_$)*− 𝑢_$ ≥ 0 pour 2𝑛 − 3 ≥ 0 donc pour 𝑛 ≥ 1,5.

Ainsi pour 𝑛 ≥ 2 (𝑛 est entier), on a 𝑢$)*− 𝑢_$≥ 0.

On en déduit qu'à partir du rang 2, la suite (𝑢_$) est croissante.

2) Pour tout 𝑛 deℕ^∗, on donne la suite (𝑢_$) définie par : 𝑢$= ^*

$($)*). On utilise la méthode 2 (car tous les termes sont strictement positifs !!)

2₃₄₅ 2₃ =

5 (345)(34B)

5 3(345)

=($)*)($)<)^$($)*) =_$)<^$ .

Or 𝑛 et 𝑛 + 2 sont tous deux positifs et 𝑛 < 𝑛 + 2, donc ²₂³⁴⁵

3 < 1.

On en déduit que la suite (𝑢_$) est décroissante.

3) Pour tout 𝑛 deℕ, on donne la suite (𝑢_$) définie par : 𝑢$= 2 − 3𝑛 On utilise la méthode 𝟑 (car (𝑢_$) est définie de manière explicite.

𝑢_$= 𝑓(𝑛) avec 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥 qui est affine décroissante (coefficient directeur égal à −3 < 0).

Alors (𝑢_$) est elle-même décroissante.

b) Cas particulier des suites arithmétiques et géométriques

Si 𝑟 > 0, alors (𝑢_$) est strictement croissante.

Si 𝑟 = 0, alors (𝑢_$) est constante égale à 𝑢H. Si 𝑟 < 0, alors (𝑢_$) est strictement décroissante.

Exemple : la raison de la suite arithmétique (𝑢_$

) définie par 𝑢

= 3𝑛 − 1 est 3 > 0.

Donc (𝑢

) est croissante.

Propriété : variations d’une suite géométrique Cas 𝒖_𝟎> 𝟎 :

Si q> 1, alors (𝑢_$) est strictement croissante.

Si 0 < 𝑞 < 1, alors (𝑢_$) est strictement décroissante.

Si 𝑞 < 0, (𝑢$) n’est pas monotone.

Cas 𝒖_𝟎 < 𝟎 :

Si q> 1, alors (𝑢_$) est strictement décroissante.

Si 0 < 𝑞 < 1, alors (𝑢_$) est strictement croissante.

Si 𝑞 < 0, (𝑢$) n’est pas monotone.

Exemple : la raison de la suite géométrique (𝑣_$

) définie par 𝑣

= −5 × N

O

est

∈ ]0; 1[.

De plus, 𝑣

= −5 < 0

Donc(𝑣

) est croissante.

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Partie 2 : limites d’une suite arithmétique ou géométrique a) Notion de limite

Définition : Suite ayant pour limite un nombre réel

Une suite (𝑢_$) a pour limite un réel 𝑙 quand 𝑛 tend vers +∞, si les termes 𝑢_$ deviennent tous aussi proches de 𝑙 que l’on veut en prenant 𝑛 suffisamment grand.

On dit que (𝑢_$) converge vers 𝑙 et on note lim

$→)W𝑢_$= 𝑙 Illustrations :

Exemple 1 : pour tout n de ℕ^∗, on considère la suite (𝑢_$) définie par : 𝑢_$=^2𝑛+1_𝑛 . Quelle semble être la limite de la suite (𝑢_$) ?

On construit le tableau de valeurs avec des termes de la suite :

𝑛 1 2 3 4 5 10 15 50 500

𝑢_$ 3 2,5 2,333 2,25 2,2 2,1 2,067 2,02 2,002

On remarque que, plus 𝑛 devient grand, plus les termes de la suite se rapprochent de 2.

On dit que la suite (𝑢_$) converge vers 2 et on a : lim

$→)W𝑢_$ = 2.

Définition : Suite ayant pour limite +∞ (respectivement −∞)

Une suite (𝑢$) a pour limite +∞ (respectivement −∞) quand 𝑛 tend vers +∞, si les termes 𝑢$ deviennent tous aussi grands (resp. petits) que l’on veut en prenant 𝑛 suffisamment grand.

On dit que (𝑢_$) diverge et on note lim

$→)W𝑢_$= +∞ (resp. lim

$→)W𝑢_$ = −∞).

Illustrations :

On observe que les termes successifs de (𝑢$) sont de On observe que les termes successifs de (𝑢$) sont de plus en plus grands donc on peut penser que plus en plus petits donc on peut penser que

$→)W lim 𝑢$= +∞ lim

$→)W𝑢$= −∞

Remarque : petit ne signifie pas proche de 0, mais négatif et grand en valeur absolue (par exemple, −1 000 000 est petit).

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Exemple : pour tout 𝑛 de ℕ, on considère la suite (𝑢_$) définie par : 𝑢$= 𝑛^<+ 1.

Quelle semble être la limite de la suite (𝑢_$) ? Calculons quelques termes de cette suite :

𝑢_H= 0^<+ 1 = 1 ; 𝑢_* = 1^<+ 1 = 2 ; 𝑢_< = 2^<+ 1 = 5 ; 𝑢_*H= 10^<+ 1 = 101 ; 𝑢_*HH= 100^<+ 1 = 10 001.

Plus 𝑛 devient grand, plus les termes de la suite semblent devenir grands.

La suite (𝑢_$) diverge vers +∞ et on a : lim

$⟶)W𝑢_$ = +∞.

Remarque importante : certaines suites n’ont pas de limite. Dans ce cas on dit aussi que la suite diverge. Diverger signifie « ne pas converger ».

Exemple : pour tout 𝑛 de ℕ, on considère la suite (𝑢_$) définie par : 𝑢$= (−1)^$.

Lorsque 𝑛 devient grand, les termes de la suite ne semblent pas se rapprocher vers une valeur unique, ni devenir de plus en plus grands, ni de plus en plus petits.

Donc la suite (𝑢_$) diverge.

b) Limites d’une suite arithmétique ou géométrique Propriété : limite d’une suite arithmétique

Si 𝑟 > 0,

$→)W

𝑢

= +∞ Si 𝑟 = 0,

$→)W

𝑢

= 𝑢

Si 𝑟 < 0,

$→)W

𝑢

= −∞

Exemple : la raison de la suite arithmétique (𝑢_$

) définie par 𝑢

= 2 − 5𝑛 est −5 < 0. Donc

$→)W

𝑢

= −∞

Propriété : limite d’une suite géométrique Si 𝑞 > 1,

$→)W

𝑢

= Y +∞ 𝑠𝑖 𝑢

> 0

−∞ 𝑠𝑖 𝑢

< 0 Si 𝑞 = 1,

$→)W

𝑢

= 𝑢

Si −1 < 𝑞 < 1,

$→)W

𝑢

= 0 Si 𝑞 < −1, (𝑢

) diverge et n’a pas de limite.

Exemple : la raison de la suite géométrique (𝑣_$

) définie par 𝑣

= 2 × N

O

est

∈ ]−1; 1[. Donc

$→)W

𝑣

= 0