Suites et limites

Suites et limites

2.1 Exercices

1. Calcul des limites I.

(a) Calculer lim

n→+∞

n n+2. (b) Calculer lim

n→+∞

n²+1 4n²+5. (c) Calculer lim

n→+∞

√n²+2 2n . (d) Calculer lim

n→+∞

cos√ n n . (e) Calculer lim

n→+∞nsin_n¹2. (f) Calculer lim

n→+∞n²cos_n¹₂sin_n¹₃. (g) Calculer lim

n→+∞

sin(n+1)−sin(n−1) cos(n+1)+cos(n−1). (h) Calculer lim

n→+∞

sin(n+1)+sin(n−1) sinn . (i) Calculer lim

n→+∞

sin√

n³+n²+1 n³+n²+1 . (j) Calculer lim

n→+∞

√n²+1−√ n²+4

2 .

(k) Calculer lim

n→+∞(√

n²+ 7−p

(n+ 3)(n+ 6)).

(l) Calculer lim

n→+∞n(√

n⁴+ 4n+ 5−n²).

(m) Calculer lim

n→+∞

√n(√

n³+n−√

n³+ 1).

(n) Calculer lim

n→+∞

n³ 7ⁿcos√

n.

(o) Calculer lim

n→+∞

2ⁿ n!. (p) Calculer lim

n→+∞3ⁿe⁻³ⁿ. (q) Calculer lim

n→+∞(1 +_n²)ⁿ. (r) Calculer lim

n→+∞(1−_n¹)ⁿ. 21

(s) Calculer lim

n→+∞(1−_n¹₂)ⁿ. (t) Calculer lim

n→+∞n³(1−cos_n¹) sin_n¹. 2. Calcul des limites II.

(a) Calculer en fonction dex∈R: lim

n→+∞

1 1+n²x². (b) Calculer en fonction dex∈R: lim

n→+∞

1−n²x³ 1+n²x². (c) Calculer en fonction dex∈R,x6=−1 : lim

n→+∞

xⁿ−1 xⁿ+1

2

. (d) Calculer en fonction dex >0 : lim

n→+∞

√n(√ⁿ x−1).

3. Convergence I*.Soit (xn) une suite convergente et (yn) la suite d´efinie paryn=xn+1−xn. Montrer `a l’aide de la d´efinition d’une suite conver- gente que la suite (yn) converge et donner sa limite.

4. Convergence II*.Donner un exemple d’une suite (xn) telle que la suite (yn) d´efinie par yn = xn+1−xn converge vers 0 mais la suite (xn) est divergente.

5. Nonexistence d’une limite*.Montrer que lim

n→+∞sinnn’existe pas.

6. Suite g´eom´etrique.Soit (xn) la suite d´efinie par laxn+1 =qxnetx0=a o`uaet qsont r´eels. Montrer quexn=aqⁿ pour toutn∈N.

7. Une suite major´ee par une suite g´eom´etrique. Soit (xn)_n∈N une suite telle que pour tout entier natureln

|xn+1| ≤q|xn|

pour une constanteq∈]0,1[. Montrer par r´ecurrence que pour tout entier natureln

|xn| ≤qⁿ|x0|.

En d´eduire que (x_n) converge et donner sa limite.

8. Suites r´ecurrentes nonlin´eaires I.

(a) Calculer la limite de la suite (x_n) d´efinie par x_n+1=1

4(3x_n+ 1), x₀= 0 (b) Calculer la limite de la suite (xn) d´efinie par

xn+1=1

4(xn+ 4), x0= 0

(c) Calculer la limite de la suite (x_n) d´efinie par x_n+1= xn+ 1

3x_n+ 1, x₀= 1 (d) Calculer la limite de la suite (xn) d´efinie par

xn+1= 1 1 +xn

, x0= 0 (e) Calculer la limite de la suite (xn) d´efinie par

x_n+1=√

3x_n, x₀= 1

9. Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2.

(a) Calculer la limite de la suite (xn) d´efinie par xn+1= 1

2(xn+xn−1), x0= 0, x1= 1 (b) Calculer la limite de la suite (x_n) d´efinie par

xn+1= 1

4(5xn−x_n−1), x0= 0, x1= 1 (c) Montrer que la suite (xn) d´efinie par

x_n+1= 5x_n−4x_n−1, x₀= 0, x₁= 1 est divergente.

10. R´ecurrence logistique - la route vers le chaos.On consid`ere la suite (xn) d´efinie par

xn+1=µxn(1−xn), x0∈[0,1]

pour un param`etreµ∈]0,4]. Montrer quexn∈[0,1] pour tout n∈N. (a) Exempleµ= 1. Montrer que pour toutx0∈[0,1]

n→+∞lim xn= 0.

(b) Exempleµ = 2. Montrer que pour tout x0 ∈[0,1] la suite (xn) est donn´ee par

xn= 1 2−1

2(1−2x0)²ⁿ. Montrer ensuite que pour tout x0∈]0,1[

n→+∞lim xn= 1 2.

(c) Exemple µ = 4. On d´efinit θ₀ par x₀ = sin²θ₀. Montrer que pour tout x₀∈[0,1]

xn = sin²(2ⁿθ0).

Calculer lim

n→+∞xn pour toutθ0 de la formeθ0= ₂^πk et k∈N. Calculer lim

n→+∞x_n pour toutθ₀ de la formeθ₀= _3·2^π_k etk∈N. Donner la suite (x_n) six₀= sin^2π₅, i.e.θ₀=^π₅.

Facultatif pour voir plus : Etudier num´eriquement le comportement dex_n pour d’autres conditions initialesx₀.

2.2 Corrig´ es

1. Calcul des limites.

(a) lim

n→+∞

n n+2 = 1.

(b) lim

n→+∞

n²+1 4n²+5 =¹₄. (c) lim

n→+∞

√n²+2

2n = lim

n→+∞

n√

2+2/n² 2n =¹₂. (d) lim

n→+∞

cos√ n n = 0.

(e) lim

n→+∞nsin_n¹2 = 0 car 0≤sin_n¹ ≤_n¹. (f) lim

n→+∞n²cos_n¹₂sin_n¹₃ = 0.

(g) lim

n→+∞

sin(n+1)−sin(n−1)

cos(n+1)+cos(n−1) = lim

n→+∞

2 cosnsin 1

2 cosncos 1 = tan 1.

(h) lim

n→+∞

sin(n+1)+sin(n−1)

sinn = lim

n→+∞

2 sinncos 1

sinn = 2 cos 1.

(i) lim

n→+∞

sin√

n³+n²+1 n³+n²+1 = 0.

(j) lim

n→+∞

√n²+1−√ n²+4

2 = lim

n→+∞

−3 2(√

n²+1+√

n²+4) = 0.

(k) lim

n→+∞(√

n²+ 7−p

(n+ 3)(n+ 6)) =−⁹₂. (l) lim

n→+∞n(√

n⁴+ 4n+ 5−n²) = 2.

(m) lim

n→+∞

√n(√

n³+n−√

n³+ 1) = ¹₂. (n) lim

n→+∞

n³ 7ⁿcos√

n= 0.

(o) lim

n→+∞

2ⁿ n! = 0.

(p) lim

n→+∞3ⁿe⁻³ⁿ= 0.

(q) lim

n→+∞(1 +_n²)ⁿ= lim

n→+∞(1 +_n¹)ⁿ(1 +_n+1¹ )ⁿ⁺¹ⁿ⁺¹_n+2 =e². (r) lim

n→+∞(1−_n¹)ⁿ= lim

n→+∞

n−1 n

1

(1+_n−1¹ )ⁿ⁻¹ = ¹_e. (s) lim

n→+∞(1−_n¹2)ⁿ= lim

n→+∞(1−¹_n)ⁿ(1 +_n¹)ⁿ = 1.

(t) lim

n→+∞n³(1−cos_n¹) sin_n¹ =¹₂.

Corrig´e. Nous utilisons le fait que

n→+∞lim nsin1

n= lim

n→+∞

sin_n¹

1 n

= lim

x→0

sinx x = 1.

et

n→+∞lim cos1 n = 1

Pour transformer (1−cos_n¹) il y a deux possibilit´es. Soit on ´ecrit 1−cos1

n =1−cos^{2 1}_n

1 + cos¹_n = sin^{2 1}_n 1 + cos¹_n soit on utilise l’identit´e

1−cos 1

n = cos 0−cos1

n = 2 sin²( 1 2n).

Avec le premier r´esultat nous avons

n→+∞lim n³(1−cos1 n) sin1

n = lim

n→+∞n³ sin^{2 1}_n 1 + cos¹_n sin 1

n

= lim

n→+∞

n³sin^{3 1}_n 1 + cos_n¹

= 1

1 + 1 =1 2. Si on utilise la deuxi`eme identit´e on a

n→+∞lim n³(1−cos1 n) sin1

n = lim

n→+∞n³2 sin²( 1 2n) sin1

n

= 1 2 lim

n→+∞(2n)³sin³( 1

2n) cos 1 2n

= 1 2.

2. Calcul des limites II.

(a) Pour toutx6= 0 : lim

n→+∞

1

1+n²x² = 0. Six= 0, alors lim

n→+∞

1 1+n²x² = 1 (b) Pour toutx6= 0 : lim

n→+∞

1−n²x³

1+n²x² =−x. Six= 0, alors lim

n→+∞

1−n²x³ 1+n²x² = 1

(c) Pour toutx∈R,x6=−1,1 : lim

n→+∞

xⁿ−1 xⁿ+1

2

= 1. Six= 1 la limite vaut 0.

(d) Pour toutx >0 : lim

n→+∞

√n(√ⁿ

x−1) = 0 (voir ch. 2.3 du cours).

3. Convergence I*. Soit x la limite de la suite (x_n). Pour tout > 0 il existe un nombre naturel N tel que |x_n−x| < pour toutn ≥N. Par cons´equent pour toutn≥N on a

|yn|=|xn+1−x+x−xn| ≤ |xn+1−x|+|x−xn|<2.

Ceci dit que pour tout >0 il existe un nombre naturelNtel que|yn|<2 pour toutn≥N. Donc

n→+∞lim yn= 0.

4. Convergence II*.xn=√ n.

5. Nonexistence d’une limite*. Supposons que lim

n→+∞sinnexiste. Alors par l’exercice 3,

sin(n+ 1)−sin(n−1) = 2 cosnsin 1 converge vers 0. Donc lim

n→+∞cosn= 0 et par l’exercice 3 cos(n+ 1)−cos(n−1) =−2 sinnsin 1

converge vers 0. Noter que sin 16= 0. Par cons´equent, sinnet cosnconverge vers 0. Ceci est impossible car

sin²n+ cos²n= 1 pour toutn. Donc l’hypoth`ese que lim

n→+∞sinnexiste est fausse.

6. Suite g´eom´etrique.Pourn= 0 la relation est vraie. Sixn =aqⁿ, alors par la relation r´ecurrente pourxn nous avons

x_n+1=qx_n =qaqⁿ=aqⁿ⁺¹.q.e.d.

7. Une suite major´ee par une suite g´eom´etrique.Pourn= 0 l’in´egalit´e

|xn| ≤qⁿ|x0|est vraie. Si pour un entier naturel n,|xn| ≤qⁿ|x0|, alors

|xn+1| ≤q|xn| ≤q·qⁿ|x0|=qⁿ⁺¹|x0|.

Par le th´eor`eme de deux gendarmes la suite des|xn|(et donc la suite des x<sub>n</sub> par la r`egle 2.4) converge vers 0 (les gendarmes sont les suitesu_n= 0 etv_n =qⁿ|x₀|).

8. Suites r´ecurrentes nonlin´eaires I. Dans chaque cas il faut d’bord d´emontrer la convergence de la suite en suivant les m´ethodes donn´ees au 2.7.

(a)

n→+∞lim x_n= 1.

(b)

n→+∞lim x_n= 4 3. (c)

n→+∞lim xn=

√3 3 . (d)

n→+∞lim xn=

√5−1 2 . (e)

n→+∞lim xn= 3.

9. Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2.

(a)

n→+∞lim xn= 2 3. (b)

n→+∞lim xn= 4 3. (c) La suite (dn) d´efinie pardn =xn−xn−1v´erifie

dn+1= 4dn, d1= 1

Par cons´equent, (d_n) est divergente et la suite (x_n) n’est pas une suite de Cauchy donc divergente.

10. R´ecurrence logistique - la route vers le chaos.On consid`ere la suite (x_n) d´efinie par

xn+1=µxn(1−xn), x0∈[0,1]

pour un param`etreµ∈]0,4]. Montrer quexn∈[0,1] pour tout n∈N. Corrig´e. Evidemment pour toutn

x_n+1≤maxµx_n(1−x_n) =µ 4 ≤1.

carx(1−x)≤ ¹₄. Doncxn≤1 pour toutn. Par cons´equent, x_n+1=µx_n(1−x_n)≥0.

(a) Exempleµ= 1. Montrer que pour toutx₀∈[0,1]

n→+∞lim x_n= 0.

Corrig´e. Pour toutn

xn+1−xn =−x²_n≤0.

La suite (xn) est d´ecroissante et minor´ee (par 0), donc convergente.

Elle converge vers la solution de x=x(1−x), i.e.x= 0.

(b) Exempleµ = 2. Montrer que pour tout x0 ∈[0,1] la suite (xn) est donn´ee par

xn= 1 2−1

2(1−2x0)²ⁿ. Montrer ensuite que pour tout x0∈]0,1[

n→+∞lim xn= 1 2. Corrig´e. Pourn= 0 c’est vrai. Alors,

xn+1= 2(1 2 −1

2(1−2x0)²ⁿ)(1 2 +1

2(1−2x0)²ⁿ)

= 1

2(1−(1−2x0)²ⁿ⁺¹).

On pose q= (1−2x0). Evidemment|q|<1 pourx0∈]0,1[ (l’inter- valle ouvert est important). De plus, 2ⁿ> npourn≥1 (d´emonstration par r´ecurrence : l’in´egalit´e est vraie pour n=1 et 2ⁿ⁺¹= 2·2ⁿ >2n= n+n ≥ n+ 1). Donc pour tout n ≥ 1 (noter que q²ⁿ = |q|²ⁿ car l’exposant est pair)

1

2 ≥x_n ≥1 2 −|q|ⁿ

2 .

Le th´eor`eme des deux gendarmes implique la convergence vers ¹₂. (c) Exemple µ = 4. On d´efinit θ₀ par x₀ = sin²θ₀. Montrer que pour

tout x₀∈[0,1]

xn = sin²(2ⁿθ0).

Calculer lim

n→+∞xn pour toutθ0 de la formeθ0= ₂^πk et k∈N. Calculer lim

n→+∞x_n pour toutθ₀ de la formeθ₀= _3·2^π_k etk∈N. Donner la suite (x_n) six₀= sin^2π₅, i.e.θ₀=^π₅.

Facultatif pour voir plus : Etudier num´eriquement le comportement dex_n pour autres conditions initialesx₀.

Corrig´e. Pourn= 0 par d´efinitionx0= sin²θ0. Alors xn+1= 4 sin²θn(1−sin²θn)

= 4 sin²(θn) cos²(θn)

= 4 sin²(2ⁿθ0) cos²(2ⁿθ0)

= sin²(2·2ⁿθ₀) = sin²(2ⁿ⁺¹θ₀)

Pour tout θ₀ de la forme θ₀ = ₂^π_k et k ∈ N on a x_k = sin²π = 0.

Doncx_n= 0 pour toutn≥k:

n→+∞lim xn= 0.

Pour toutθ₀ de la formeθ₀=_3·2^π_k etk∈Non ax_k= sin^2π₃ = ³₄ et x_n=x_k pour toutn≥k.

n→+∞lim xn =3 4. Six0= sin^2π₅, i.e.θ0=^π₅, alors

(xn)_n≥0= (sin²π

5,sin²2π 5 ,sin²π

5,sin²2π 5 , . . .).

C’est une suite periodique de periode 2. On trouve des autres suites p´eriodiques pourθ0 de la forme θ0 = _m·2^π_k et k ∈N,m ∈N\ {0}. Si ^θ_π⁰ est irrationnel la suitexn est ”irregulaire” (ni convergente, ni p´eriodique)