Limites de suites

(1)

Cours de Mathématiques en terminale S

Michel IMBERT Année scolaire 2017-2018

Lycée Bertran de Born - Périgueux

• • •

Livre de la classe

(2)

(3)

Table des matières

1 Limites de suites 9

I Généralités . . . 10

I.1 Notion de suite . . . 10

I.2 Sens de variation d’une suite . . . 11

I.3 Suite majorée, minorée, bornée . . . 12

II Suites arithmétiques et géométriques . . . 13

II.1 Suites arithmétiques . . . 13

II.2 Suites géométriques . . . 14

III Raisonnement par récurrence . . . 14

III.1 Théorème . . . 14

IV Comportementasymptotique d’une suite numérique . . . 16

IV.1 Limite d’une suite . . . 16

IV.1.1 Limite finie . . . 16

IV.1.2 Limite infinie . . . 16

IV.2 Suites n’ayant pas de limite . . . 17

IV.3 Limites de suites et opérations . . . 17

IV.3.1 Addition et soustraction . . . 17

IV.3.2 Limite d’un produit . . . 17

IV.3.3 Limite d’un quotient . . . 18

IV.4 Rappels des formes indéterminées . . . 18

IV.5 Limites et inégalités . . . 18

IV.6 Théorèmes d’existence de limites . . . 18

IV.6.1 Théorème d’encadrement ou « des gendarmes » . . . 18

IV.6.2 Existence de limite par comparaison . . . 18

IV.6.3 Théorème de la limite monotone . . . 19

IV.7 Application : limite d’une suite géométrique . . . 20

IV.7.1 Une Inégalité . . . 20

IV.7.2 Limite d’une suite géométrique . . . 20

2 Les fonctions 21 I Limite d’une fonction . . . 22

I.1 Activités . . . 22

I.2 Définitions . . . 22

I.2.1 Limites en+∞et en−∞( x7−→ ±∞) . . . 22

I.2.2 Limite d’une fonction en un réela(x7−→a) . . . 24

I.3 Opérations sur les limites . . . 25

I.4 Limites en+∞et−∞d’une fonction polynôme . . . 26

I.5 Limites en+∞et−∞d’une fonction rationnelle . . . 26

I.6 Théorèmes de comparaison . . . 26

I.7 Limite d’une fonction composée . . . 27

II Continuité d’une fonction sur un intervalle . . . 27

II.1 Continuité ena . . . 27

II.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . 28

II.3 Théorème de la bijection . . . 28

II.4 Résolution d’équations . . . 29

III Dérivabilité d’une fonction sur intervalle . . . 29

III.1 Rappel : dérivabilité et nombre dérivé . . . 29

(4)

III.2 Calculs de dérivées . . . 30

III.3 Dérivées et variations . . . 32

IV Cosinus et sinus : point de vue fonctionnel . . . 33

IV.1 Définitions . . . 33

IV.2 Variations des fonctions cosinus et sinus . . . 34

IV.3 Courbes . . . 34

IV.4 Exemple d’étude de fonction trigonométrique . . . 34

V ANNEXE 1 pour l’idée de continuité . . . 35

V.1 Approche expérimentale . . . 35

V.1.1 Pas de raccordement . . . 35

V.1.2 Un raccordement . . . 35

V.1.3 Avec un trou . . . 35

V.1.4 Un saut .... . . 35

V.2 Continuité en a . . . 35

VI ANNEXE 2 : La fonction tangente . . . 36

3 Nombres complexes (partie 1) 37 I Découvrir les nombres complexes sans complexe . . . 38

II L’ensembleC . . . 38

II.1 Un nouvel ensemble de nombres . . . 38

II.2 Un vocabulaire spécifique . . . 38

II.3 Égalité de deux nombres complexes . . . 38

II.4 Somme et produit de deux nombres complexes . . . 39

II.5 Quotient de nombres complexes . . . 39

II.6 Résolution d’équations dansC. . . 39

III Le plan complexe . . . 39

III.1 Affixe d’un point . . . 39

III.2 Affixe d’un vecteur . . . 40

IV Conjugué d’un nombre complexe . . . 40

V Équations du second degré . . . 41

V.1 Racines carrées d’un réel . . . 41

V.2 Équationax²+bx+c= 0avec (a, betcréels ;a6= 0) . . . 42

VI Annexe 1 . . . 43

VI.1 Une formule pour une solution dex³=px+q, (p, q)∈R² . . . 43

VI.2 Des calculs avec i . . . 43

VI.3 Aspect géométrique des nombres complexes . . . 43

4 La fonction exponentielle 45 I Introduction . . . 46

II Une fonction égale à sa dérivée . . . 47

II.1 Propriétés vérifiées par une solution de(E_d) . . . 47

III La fonction Exponentielle . . . 48

III.1 Théorème et Définition . . . 48

III.2 Nombreeet notatione^x . . . 48

III.3 Propriétés asymptotiques : limites en l’infini . . . 49

III.4 Courbe de la fonctionexp. . . 49

III.5 Croissance comparée. Limites de référence . . . 50

III.6 Fonction dérivée de e^uavecudérivable sur un intervalle I . . . 51

IV Annexe 1 : Méthode d’Euler . . . 52

5 Les probabilités Discrètes 53 I Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités. . . 54

I.1 Univers . . . 54

I.2 Loi de probabilité . . . 54

I.2.1 Un cas particulier : la loi équirépartie (uniforme) . . . 55

I.3 Calculs de probabilités . . . 55

I.3.1 Probabilité d’un événement . . . 55

I.3.2 Événement contraire . . . 55

(5)

I.3.3 Intersection et réunion d’événements . . . 55

I.4 Arbre de probabilités . . . 56

II Variables aléatoires . . . 56

II.1 Notion de variable aléatoire . . . 56

II.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . 57

II.3 Paramètres d’une loi de probabilité . . . 57

II.3.1 Espérance . . . 57

II.3.2 Variance et écart-type . . . 58

II.3.3 Propriétés . . . 58

III Probabilités conditionnelles . . . 58

III.1 Exemple introductif . . . 58

III.2 Probabilité conditionnelle . . . 59

III.2.1 Exemple . . . 59

III.2.2 Formule des probabilités totales . . . 60

IV Indépendance . . . 60

IV.1 Événements indépendants . . . 60

V Loi Binomiale . . . 60

V.1 Combinaisons . . . 60

V.2 Dénombrer les combinaisons . . . 60

V.3 Propriétés des coefficients binomiaux . . . 61

V.4 Loi Binomiale . . . 61

6 La fonction logarithme népérien 63 I Fonction réciproque d’une fonction . . . 64

I.1 Définition d’une bijection . . . 64

I.2 Représentation graphique d’une fonction réciproque . . . 64

I.3 Des exemples déjà rencontrés . . . 64

II Fonction logarithme népérien . . . 65

II.1 Définition . . . 65

II.2 Conséquences . . . 65

II.3 Dérivabilité, Sens de variation et équivalences importantes . . . 65

II.4 Représentation graphique de la fonctionln . . . 65

II.5 Propriétés de la fonctionln. . . 66

II.6 Utilisation des propriétés deln: résolution d’équation, d’inéquation . . . 67

III Dérivée deln(u)oùu >0et dérivable surI . . . 67

IV Croissance comparée.n∈N∗ . . . 67

7 L’espace 69 I Positions relatives de droites et de plans . . . 70

I.1 Positions relatives de deux droites . . . 70

I.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan . . . 70

I.3 Positions relatives de deux plans . . . 71

II Parallèlisme dans l’espace . . . 71

III Orthogonalité dans l’espace . . . 72

III.1 Droites orthogonales . . . 72

III.2 Droite orthogonale à un plan . . . 73

IV Vecteurs de l’espace . . . 74

IV.1 Vecteurs coplanaires . . . 74

IV.2 Caractérisation vectorielle d’un plan . . . 74

IV.3 Repères de l’espace . . . 75

IV.3.1 Décomposition d’un vecteur . . . 75

IV.3.2 Repérage de l’espace . . . 75

IV.3.3 Représentation paramétrique d’une droite . . . 76

IV.3.4 Représentation paramétrique d’un plan . . . 76

(6)

8 Calcul intégral 77

I INTÉGRALE d’une fonction continue et positive . . . 78

I.1 Domaine associé à une fonction positive . . . 78

I.2 Intégrale d’une fonction continue positive . . . 78

I.3 Valeur moyenne d’une fonction continue positive . . . 78

II Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque . . . 79

III Primitives d’une fonction . . . 79

III.1 Primitive . . . 79

III.2 Ensemble de primitives . . . 79

III.3 Primitive et condition initiale . . . 80

III.4 Intégrale et primitive . . . 80

III.5 Théorème fondamental du calcul intégral . . . 81

III.6 Tableaux de primitives . . . 81

IV Propriétés de l’intégrale . . . 81

IV.1 Propriétés . . . 81

IV.2 Intégrales et inégalités . . . 82

V Calcul d’aires et de volumes . . . 82

VI Annexe 1 : aire sous la courbe d’une fonction continue positive . . . 84

VI.1 Aire sous la courbe d’une fonction affine par morceaux . . . 84

VI.2 Aire sous la courbe de la fonction carré entre 0 et 1 . . . 84

VII Annexe 2 : tableau des primitives usuelles . . . 85

9 Nombres complexes (partie 2) 87 I Module et Argument d’un nombre complexe . . . 88

I.1 Définition . . . 88

I.2 Propriétés : . . . 88

I.3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . 89

II Notation Exponentielle . . . 90

II.1 Notation . . . 90

II.2 FORMULES de MOIVRE et D’EULER . . . 90

III Nombres complexes en géométrie . . . 91

III.1 Module et argument de l’affixe d’un vecteur . . . 91

III.1.1 ⊲Module et argument dez_B−z_A . . . 91

III.1.2 Module et argument de ^z_z^D⁻^z^C B−zA . . . 92

10 Les probabilités continues 93 I Vers les lois continues, analyse d’une situation concrète . . . 94

I.1 Notion de densité de probabilité . . . 95

I.2 Loi de probabilité associée à une fonction de densité . . . 95

I.3 Espérance d’une variable aléatoire continue . . . 96

II Exemples de lois continues . . . 96

II.1 Loi uniforme sur[a;b] . . . 96

II.2 Loi exponentielle ou loi de durée de vie sans vieillissement . . . 97

II.3 Lois normales . . . 98

II.3.1 Loi normale centrée réduite . . . 98

II.4 Variable aléatoire centrée réduite . . . 100

II.4.1 Théorème de Moivre-Laplace . . . 101

II.4.2 La loi normaleN(µ;σ²) . . . 101

11 Produit scalaire dans l’espace 103 I Produit scalaire dans l’espace . . . 104

I.1 Extension à l’espace du produit scalaire dans le plan . . . 104

I.2 Extension de l’expression dans un repère orthonormé(O;~i;~j;~k) . . . 104

I.3 Produit scalaire et orthogonalité . . . 105

I.3.1 Orthogonalité de deux droites . . . 105

I.4 Orthogonalité : méthodes générales . . . 106

I.4.1 Orthogonalité de deux droites . . . 106

I.4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan . . . 106

(7)

II Plan dans l’espace . . . 106

II.1 Vecteur normal à un plan . . . 106

II.2 Équation cartésienne d’un plan . . . 107

II.3 Exercices importants . . . 108

12 Echantillonnage, estimation 109 I Intervalle de fluctuation . . . 110

I.1 Mise en place de la notion d’intervalle de fluctuation . . . 110

I.1.1 Définition . . . 110

I.1.2 Intervalles de fluctuation vus au lycée . . . 110

I.2 Intervalle de fluctuation asymptotique . . . 110

I.2.1 Retour sur le théorème de Moivre-Laplace . . . 110

I.2.2 Retour sur le nombreu_α . . . 111

I.2.3 Intervalle de fluctuation asymptotique . . . 111

I.2.4 Exemple d’utilisation . . . 112

II Estimation . . . 113

II.1 Principe de l’étude d’un caractèreCdans une populationP . . . 113

II.2 Intervalle de confiance . . . 113

II.2.1 Principe général . . . 113

II.2.2 Application . . . 114

II.3 Intervalle de fluctuation ou Intervalle de confiance . . . 114

(8)

(9)

Chapitre 1

Limites de suites

Sommaire

I Généralités . . . . 10

I.1 Notion de suite . . . . 10

I.2 Sens de variation d’une suite . . . . 11

I.3 Suite majorée, minorée, bornée . . . . 12

II Suites arithmétiques et géométriques . . . . 13

II.1 Suites arithmétiques . . . . 13

II.2 Suites géométriques . . . . 14

III Raisonnement par récurrence . . . . 14

III.1 Théorème . . . . 14

IV Comportement asymptotique d’une suite numérique . . . . 16

IV.1 Limite d’une suite . . . . 16

IV.2 Suites n’ayant pas de limite . . . . 17

IV.3 Limites de suites et opérations . . . . 17

IV.4 Rappels des formes indéterminées . . . . 18

IV.5 Limites et inégalités . . . . 18

IV.6 Théorèmes d’existence de limites . . . . 18

IV.7 Application : limite d’une suite géométrique . . . . 20

• • •

(10)

L 1 : LiÆmites de suites

TS >

^2017/18

I Généralités

I.1 Notion de suite 1. Notations et vocabulaire

DéfiÆnition

Une suite est une fonction deN dansR, qui associe à tout entier naturel un unique réel.

On note la suite : (u_n)_n_∈N ou plus simplement(u_n).

unest le terme général de la suite ou le terme de rangn. (écriture simplifiée de la notation fonc- tionnelleu(n)).

Il faut distinguer(u_n)notation de la suite etu_nqui est un nombre réel.

Remarque 1 : Si l’on considère la suite(u_n)_n>0, le premier terme estu₀ et le n-ième terme est le terme de rangn−1c’est à direu_n₋₁.

Certaines suites ne sont définies qu’à partir d’un rangn₀, on note(u_n)_n>n0. Ex :

1 n

n>1

, le premier terme estu₁. 2. Modes de génération d’une suite

• A partir d’une expression explicite

On peut alors calculer directementu_nà partir den. On a plus précisémentu_n=f(n)oùf est une fonction définie sur[0; +∞[.

Exemple 1 un= n²

n+ 2 ^.^Caluleru2 ^etu10^.

Exemple 2 vn=p

2n+ (−1)ⁿ^.^Calulerv2 ^et^le^inquième ^terme^de^la^suite.

• Avec une relation de récurrence

Ces suites sont définies par le(s) premier(s) terme(s) et par une relation dite de récurrence qui donne le procédé pour calculer un terme à partir du (ou des) précédent(s). Souvent, on associe une fonctionf et la relation de récurrence est de la formeu_n+1=f(u_n)(ffonction de passage).

Exemple 3

u0=−1

un+1= 2un+ 3 ∀n∈N ^.^Donner^la^fontion^de^passage.^Caluleru4^.

(11)

3. Représentation graphique des termes d’une suite

• Casu_n=f(n): expression explicite

Reprendre l’exemple 1 : u_n = n² n+ 2, les termes (un) sont les images des entiers naturels par la fonction f définie sur[0; +∞[parf(x) = x²

x+ 2

1 2 3 4 5 6 7

−1 1 2 3 4 5 6 7

−1 O ~i

~j

C_f

• Casu_n+1=f(u_n): suite récurrente Soit :

( u0 =−1 u_n+1= 1

2u_n+ 2 ∀n∈N

On considère la fonction de passagef défi- nie par :

f(x) = 1 2x+ 2

et l’on a successivement u₁ = f(u₀), u₂ = f(u₁), .... chaque image calculée doit servir à calculer la suivante donc graphiquement on doit « reporter » les images calculées sur l’axe des abscisses. La droite d’équa- tiony=xsert à cela.

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2 3 4

−1

−2

−3 O ~i

~j

y=x

y= ¹₂x+ 2

I.2 Sens de variation d’une suite 1. Définitions

DéfiÆnition

• Une suite est dite croissante si pour pour toutndeN,u_n+1>u_n.

• Une suite est dite décroissante si pour pour toutndeN,u_n+1 6u_n

• Une suite est dite constante si pour pour toutndeN,u_n+1 =u_n

Une suite qui est soit croissante, soit décroissante, soit constante est ditemo- notone

2. Techniques de détermination du sens de variation

• Différence de deux termes consécutifs

On calculeu_n+1−u_net on étudie le signe de cette différence en gardant à l’esprit quenest un entier naturel doncn>0. (souvent le point de départ de démonstration)

∗ ∀n∈N, u_n+1−u_n>0 ⇔u_n+1>u_n⇔ (u_n)croissante

∗ ∀n∈N, u_n+1−u_n60 ⇔u_n+16u_n⇔ (u_n)décroissante

(12)

Exemple 4 ^Déterminer^le^sens^de^variation^de^la^suite(un)^dénie^par^:

( u0= 3

un+1=un− 1

n+ 1 ∀n∈N

• Cas des suites strictement positives

Lorsque la suite(u_n) est strictement positive (∀n ∈ N, u_n > 0), on peut comparer le quotient u_n+1

u_n à 1.

∗ ∀n∈N, un+1

u_n >1 ⇔u_n+1 >u_n⇔ (u_n)croissante

∗ ∀n∈N, u_n+1 un

61 ⇔u_n+1 6u_n⇔ (u_n)décroissante

Exemple 5 ^Déterminer^le^sens^de^variation^de^la^suite(un)n>1 ^dénie^par^:un = n 3ⁿ

• Cas des suites du typeu_n=f(n)

On peut se servir du sens de variation de la fonctionf sur[0; +∞[(calcul de la dérivée def et recherche du signe def^′sur[0; +∞[).

∗ Sif est croissante sur[0; +∞[, alors (u_n)croissante

∗ Sif est décroissante sur[0; +∞[, alors (u_n)décroissante

Exemple 6 ^Déterminer^le^sens^de^variation^de^la^suite(un)n>1 ^dénie^par^:un =−n+ 2 2n+ 5

Remarque 2 Importante : Dans le cas où (u_n) est définie par : u₀

u_n+1=f(u_n) ∀n∈N ,la suite(u_n) n’a pas nécessairement le même sens de variation que la fonction de passagef.

• On utilise un raisonnement par récurrence (voir paragraphe III ) I.3 Suite majorée, minorée, bornée

1. Définitions

DéfiÆnition

• Une suite est dite majorée s’il existe un réelM tel que pour toutnde N, u_n6M . On dit queM est un majorant de la suite(u_n).

• Une suite est dite minorée s’il existe un réelm tel que pour tout nde N, u_n>m. On dit quemest un minorant de la suite(u_n).

• Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

2. Techniques

En utilisant sa calculatrice, un ordinateur, son intuition, on peut conjecturer que la suite admet un majorantM ou un minorantm. On le démontre en établissant que l’on a, pour tout ndeN, u_n6M ouu_n >M.

• Technique de la différence: on exprimeu_n−Mouu_n−mpuis on étudie le signe de l’expression.

(13)

Exemple 7 ^Démontrer^que^la^suite(un)^parun =n²+n+ 1

n²−n+ 1 ^est^majorée^par^3.

• On utilise les règles de calcul avec les inégalités (additionner, multiplier par un nombre positif ou négatif, rangements des inverses, des carrés, des racines carrées, ... )

Exemple 8 ^Démontrer^que^la^suite(un)n>1 ^parun= 3−1

n ^est^bornée.

• Dans le cas où l’on a une expression explicite de u_n, l’étude de la fonction f telle que u_n=f(n)peut conduire au résultat.

Reprendre l’exemple 7.

• On utilise un raisonnement par récurrence (voir paragraphe III).

• Cas particulier des suites monotones

Une suite croissante est minorée par son premier terme et une suite décroissante est majorée par son premier terme.

II Suites arithmétiques et géométriques

II.1 Suites arithmétiques 1. Définition

DéfiÆnition

Une suite(u_n) est arithmétique lorsque l’on passe d’un terme de la suite au suivant en ajoutant toujours le même nombrerappelé raison. On a :

∀n∈N,u_n+1=u_n+r

On démontre qu’une suite(u_n)est arithmétique en exprimantu_n+1−u_net en montrant que cette différence est constante pour tout entiern.

En effet :∀n∈N, u_n+1−u_n=r ⇔u_n+1=u_n+r

Exemple 9 ^Soit(un)^dénie^par^:un= 3n+ 1^pour^tout^entier^naturel n^.^Prouver^que(un)^estarithmétique.

2. Sens de variation d’une suite arithmétique

Propriétés

• Sir >0, la suite arithmétique(u_n)est strictement croissante.

• Sir <0, la suite arithmétique(u_n)est strictement décroissante.

• Sir= 0, la suite arithmétique(u_n)est constante.

3. Relations entre les termes

• Soit la suite arithmétique(u_n)de premier termeu₀ et de raisonr, on a :

∀n∈N, u_n=u₀+nr

• Soit la suite arithmétique(u_n)de raisonr, on a :

∀n, p∈N, u_n =u_p+ (n−p)r Exemple 10 ^:

1.Ononsidèrelasuitearithmétique(un)^de^raisonr=−2^telle^queu9= 15^.^Exprimerun ^en^fontion^de n^.

2.Ononsidèrelasuitearithmétique(un)^telle^queu13= 7 êtu39= 20^.Êxprimerun ên^fontion^den^.

(14)

4. Somme de termes consécutifs

Soit(u_n)une suite arithmétique. SoitS=u_p+u_p+1+...+u_n₋₁+u_nla somme de termes consécutifs de la suite(u_n). On a :

S = Nombre de termes de la somme×premier terme + dernier terme 2

Exemple 11 (un)^est^la^suitearithmétiquedepremiertermeu0^et^de^raisonr= 1,5^.^CalulerS=u7+u8+...+u20

II.2 Suites géométriques 1. Définition

DéfiÆnition

Une suite (u_n) est géométrique lorsque l’on passe d’un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même nombreq appelé raison. On a :

∀n∈N,u_n+1=u_n×q

On démontre qu’une suite(u_n)est géométrique en exprimantu_n+1 sous la formeconstante×u_n pour tout entiern.

Exemple 12 ^Soit(un)^dénie^par^:un= 3ⁿ⁺²×2ⁿ⁻¹^pour^tout^entier^natureln^.^Prouver^que(un)^estgéométrique.

2. Sens de variation de(qⁿ)

Propriétés

• Siq >1, la suite de terme général(qⁿ)est strictement croissante.

• Si0< q <1, la suite de terme général(qⁿ)est strictement décroissante.

• Siq <0, la suite de terme général(qⁿ)n’est pas monotone.

3. Relations entre les termes

• Soit la suite géométrique(u_n)de premier termeu₀et de raisonq, on a :

∀n∈N, un=u0×qⁿ

• Soit la suite géométrique(u_n)de raisonq, on a :

∀n, p∈N, u_n=u_p×qⁿ⁻^p Exemple 13 ^:

1. On onsidère la suite géométrique(un) ^de ^raison q = 3 ^telle ^que u5 =−27^. Êxprimer un ên ^fontion ^de n êt

étudierlesensde variationde (un)^.

2.Ononsidèrelasuitegéométrique(un)^telle^queu5= 16^etu11= 1024^.^Quelles^valeurs^peut^prendre^la^raisonq

de ettesuite?Caluleru3^.

4. Somme de termes consécutifs

Soit (u_n) une suite géométrique de raison q 6= 1. SoitS une somme de termes consécutifs de la suite(u_n). On a :

S= premier terme de la somme×1−qnombres de termes de la somme

1−q

Exemple 14 ^CalulerS= 1 +q+q²+...+q^p−1 ^pour q^diérent^de ⁰êt^de¹êtpêntier^naturel ^non^nul.

III Raisonnement par récurrence

III.1 Théorème 1. Situation propice

On considère la suite(u_n)_n_∈Ndéfinie par :u₀ = 1etu_n+1= 0,2u_n+ 4.

On souhaite démontrer, par exemple, que pour tout nappartenant àN: u_n65 .

(15)

On nommeP(n)cette propriété écrite au rang n (P pourpropriétéetnpour insister sur le fait que la propriété dépendde cet entier)

Réflexe: On examine la propriété pour les premières valeurs prises par l’entiern.

u_n 5 P(n)vraie ou fausse

n= 0 n= 1 n= 2 n= 3 n= 4

On pourrait continuer ainsi l’examen de beaucoup d’entiers mais quel que soit le nombre de valeurs dentestées semblant valider la propriété, on ne peut pas considérer la propriété vraie pour tout entier naturelndeN. (Est-il nécessaire de vous rappeler que l’ensembleNest infini ? Il y a toujours un entier après celui que vous avez testé !)

2. Caractère héréditaire d’une propriété

DéfiÆnition

SoitP(n) une propriété dépendant d’un entiernet n₀ ∈ N. On dit queP est héréditaire à partir du rangn0si

pourunentiern>n₀, P(n)vraieimpliquequeP(n+ 1)est vraie.

(il faut comprendre : supposer queP(n)est vraie pour unnimplique qu’elle est vraie au rang suivant)

Exemple 15 ^La^propriété ^du^1.^est-elle héréditaireàpartirde0?

Exemple 16 ^Soita^un^réel^positif.^SoitP(n)^la^propriété^:(1 +a)ⁿ>1 +na^.P ^est-ellehéréditaireàpartirde0?

3. Principe du raisonnement par récurrence (admis)

Théorème

SoitP(n)une propriété dépendant d’un entiernetn₀ ∈N. Si la propriété P(n₀)est vraie (initialisation),

et siP esthéréditaireà partir du rangn₀,

alors pour tout entiern>n₀, la propriétéP(n)est vraie.

Exemple 17 ^Les^propriétes^desêxemples¹⁵êt¹⁶^sont-elles^vraies^pour^toutnêntier^naturel.

EXERCICE 1 Soit la suite(u_n) définie par :

( u₀= 3 u_n+1= 1

2u_n−1 ∀n∈N . Démontrer par récurrence que(u_n)est décroissante et minorée par−2c’est à dire la propriétéP(n):u_n>u_n+1>−2

(16)

IV Comportement asymptotique d’une suite numérique

IV.1 Limite d’une suite

(u_n)_n_∈Nest une suite de nombres réels.

IV.1.1 Limite finie

DéfiÆnition

On dit que(u_n)_n_∈N tend versℓ(lorsquentend vers+∞), quand tout intervalle ouvert contenantℓcontient tous les termes de(u_n)_n_∈Nà partir d’un certain rang.

On dit alors que la suite(un)n∈Nest convergente ou converge versℓ.

Cela se note lim

n→+∞u_n=ℓ

• Traduction rigoureuse (Utiliser dans le supérieur en mathématiques) :

«Pour toutǫ >0, ilexisteun entier natureln_ǫ(qui dépend deǫ) tel que : Pour toutn>n_ǫ, on a|u_n−ℓ|6ǫ( ou encoreu_n∈[ℓ−ǫ;ℓ+ǫ]) »

Remarque 3 Lorsqu’une suite ne converge pas, on dit qu’elle diverge(C’est le cas des suites qui ont une limite infine ou de celles qui n’ont pas de limite). Par exemple la suite(−1)ⁿdiverge car ....

Théorème Si une suite(u_n)_n_∈Nconverge alors sa limiteℓestunique.

Exemple 18 ^Conjeturer^si^les^suites^suivantes,^dénies ^pour^toutêntier^natureln^,ôntûne^limite^nieêt^donner êlle-i

lorsqu'elleexiste.

un = −3

1 +n²^, u0= 0.5 ^etun+1=−1

2un+ 1^, u0= 1^etun+1= 1 2un

Exemple 19 (un)n∈N^est^la^suite^dénie ^pour^tout^entier^natureln≥1 ^parun= 1/n

Démontrerquelasuite(un)n∈N^onverge^vers⁰

Limite de suites de référence : 1

√n

, 1

n

, 1

n²

, 1

n³

, . . . , 1

n^p

avecp∈N∗ tendent vers0.

Preuve pour la suite 1

√n

: ....

Limite de suites de référence : Les suites(qⁿ)avec−1<q<1ont pour limite0.

IV.1.2 Limite infinie

DéfiÆnition

On dit que(u_n)_n_∈Ntend vers+∞(lorsquentend vers+∞), quand tout intervalle du type [A; +∞[, avec A ∈ Rcontient tous les termes de la suite (u_n)_n_∈N pour n assez grand.

Cela se note lim

n→+∞u_n= +∞

• Ce qui se traduit concrètement et rigoureusement par :

«Pour toutA∈R, ilexisteun entier natureln_A(qui dépend deA) tel que : Pour toutntel quen n , on au A( ou encoreu ∈[A; +∞[) »

(17)

• ou encore plus simplement mais avec moins de rigueur :

« Il existe un rangn, à partir duquelu_ndépasse n’importe lequel des nombres que je choisis. » Limites de suites de référence :(√n),(n),(n²),(n³), . . . ,(n^p)avecp∈N∗tendent vers+∞. Preuve pour la suite(n²): ....

Limite de suites de référence :Les suites(qⁿ)avecq>1ont pour limite+∞. EXERCICE 2 :

1. Donner la définition d’une suite(w_n)qui tend vers−∞. ....

2. Donner des suites qui tendent vers−∞. ....

IV.2 Suites n’ayant pas de limite

Par exemple, la suite définie surNparu_n= (−1)ⁿ, celle définie paru_n= cos(n), etc ... Il existe au moins un intervalle ne contenant pas tous les termes de la suites à partir de n’importe quel rang.

Exemple 20 (un)n∈N^dénie^parun =n(−1)ⁿ

IV.3 Limites de suites et opérations IV.3.1 Addition et soustraction

Soientℓetℓ^′ deux réels. Alors :

Si(u_n)a pour limite ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞ Si(v_n)a pour limite ℓ^′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

alors(un+vn)a pour limite . . . .

Exemple 21 ^Déterminer^les^limites^des^suites^dénies^surNparun= 3n²+ 2n−10^;vn =n²−n+ 1^puiswn=√n+ 1 n²^.

IV.3.2 Limite d’un produit Soientℓetℓ^′ deux réels. Alors :

Si(u_n)a pour limite ℓ ℓ >0 ℓ <0 ℓ >0 ℓ <0 +∞ −∞ +∞ 0 Si(v_n)a pour limite ℓ^′ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ±∞

alors(u_n×v_n)a pour limite . . . .

Exemple 22 ^Caluler lim

n→+∞

1

√n+ 1

(n²+ 3)

(18)

IV.3.3 Limite d’un quotient Soientℓetℓ^′ deux réels. Alors :

Si(u_n)a pour limite ℓ ℓ ℓ +∞ 0 ±∞ 0 ±∞

Si(vn)a pour limite ℓ^′ ±∞ 0 ℓ^′ ±∞ 0 0 ±∞

alors u_n

v_n

a pour limite . . . . Exemple 23 ^Caluler lim

n→+∞

2 1−n²^.

Étudierlalimitedelasuite(wn)n∈N^dénie ^surNparwn= 2 +n 3 +n

IV.4 Rappels des formes indéterminées

Il existe4 formes indéterminéesqui nécessitent l’utilisation d’une technique ou d’une propriété pour lever l’indétermination.

«∞ − ∞» «0× ∞» « ∞

∞ » «0 0 » EXERCICE 3 :

1. Calculer lim

n→+∞

√n−n² puis lim

n→+∞5 + 2n²−7n³. 2. lim

n→+∞

√n+ 1−√

npuis lim

n→+∞6ⁿ−3²ⁿ. IV.5 Limites et inégalités

Théorème

Soit(u_n)_n_∈N et(v_n)_n_∈Ndeux suites de nombres réelsconvergentes.

S’ilexistep∈Ntel que pourn>p,un6vnalors lim

n→+∞un6 lim

n→+∞vn

IV.6 Théorèmes d’existence de limites

IV.6.1 Théorème d’encadrement ou « des gendarmes » Théorème ^Si ^(uⁿ⁾ⁿ^∈^N^{et (w}ⁿ⁾ⁿ^∈^Nconvergent versℓ

∃p∈N,∀n∈N, n>N =⇒u_n6v_n6w_n

alors

( (v_n)_n_∈Nest convergente et lim

n→+∞vn=ℓ Exemple 24 ^Caluler lim

n→+∞

(−1)ⁿ+ 3n² n²

IV.6.2 Existence de limite par comparaison

Théorèmes

• ∃p∈N,∀n∈N, n>p=⇒un6vnet lim

n→+∞un= +∞=⇒ lim

n→+∞vn= +∞ ;

• ∃p∈N,∀n∈N, n>p=⇒u_n6v_net lim

n→+∞v_n=−∞=⇒ lim

n→+∞u_n=−∞. Ces théorèmes sont communément appelés « théorèmes de comparaison » . Exemple 25 ^Caluler lim

n→+∞n+ sin(n)

(19)

IV.6.3 Théorème de la limite monotone

Théorèmes

Soit(u_n)_n_∈N une suite monotone.

• Soit(un)n∈Nune suitecroissantede nombre réels.

⊲ Si(u_n)_n_∈Nest majorée alors elle est convergente.

⊲ Si(u_n)_n_∈Nn’est pas majorée, alors elle est divergente et lim

n→+∞u_n= +∞.

• Soit(un)n∈Nune suitedécroissantede nombre réels.

⊲ Si(u_n)_n_∈Nest minorée alors elle est convergente.

⊲ Si(u_n)_n_∈Nn’est pas minorée, alors elle est divergente et lim

n→+∞u_n=−∞. Remarque 4 Ce théorème établit l’existence de la limite d’une suite mais ne permet d’en donner la valeur.

Exemple 26 ^:

1. un= 0.2424...24⁽n^séquenes²⁴⁾

2. un= n n+ 1

EXERCICE 4 Soit(u_n)une suite décroissante et strictement positive. Montrer que la suite(w_n)défi- nie parw_n= 1

1 +u_n est convergente.

EXERCICE 5 Dans chaque cas, comparer la suite(u_n)à la suite(v_n) afin de déterminer la limite de la suite(u_n)

1. pour tout entiern≥3,u_n=n²+

rn+ 1

n−2 etv_n=n². 2. pour tout entier natureln,u_n=−n− n²+ 1

n²+ 2 etv_n=−n.

3. pour tout entier natureln,u_n=n³+ (−1)ⁿetv_n=n³.

(20)

IV.7 Application : limite d’une suite géométrique IV.7.1 Une Inégalité

On rappelle l’inégalité de Bernoulli,

Pour toutn∈Net toutaréel strictement positif, (1+a)ⁿ >1+na

Démontrer par récurrence plus tôt dans la leçon ! IV.7.2 Limite d’une suite géométrique

(u_n)est une suite géométrique de raisonq non nulle. On sait que, pour toutn∈N, u_n=u₀qⁿ. En utilisant les opérations sur les limites, pour connaître le comportement de (u_n), il suffit de connaître celui de la suite(qⁿ)et le signe deu₀.

Théorème

Soitqun nombre réel, on a :

• Siq >1, ...

• Si−1< q <1, ...

• Siq6−1, ...

• Siq= 1, ...

Démonstration (ROC)du premier point : (utiliser l’inégalité de Bernoulli et un théorème de comparaison)

....

Exemple 27 ^Caluler^les^limites^suivantes^:

• lim

n→+∞−3×2ⁿ^.

• lim

n→+∞

2 5ⁿ^.

• lim

n→+∞5(−1 4 )ⁿ^.

• lim

n→+∞

2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ⁺¹ 3²ⁿ⁻¹

• lim

n→+∞1 + 1 2+

1 2

²

+. . .+ 1

2 n

• • •

(21)

Chapitre 2

Les fonctions

Sommaire

I Limite d’une fonction . . . . 22

I.1 Activités . . . . 22

I.2 Définitions . . . . 22

I.3 Opérations sur les limites . . . . 25

I.4 Limites en+∞et−∞d’une fonction polynôme . . . . 26

I.5 Limites en+∞et−∞d’une fonction rationnelle . . . . 26

I.6 Théorèmes de comparaison . . . . 26

I.7 Limite d’une fonction composée . . . . 27

II Continuité d’une fonction sur un intervalle . . . . 27

II.1 Continuité ena . . . . 27

II.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . 28

II.3 Théorème de la bijection . . . . 28

II.4 Résolution d’équations . . . . 29

III Dérivabilité d’une fonction sur intervalle . . . . 29

III.1 Rappel : dérivabilité et nombre dérivé . . . . 29

III.2 Calculs de dérivées . . . . 30

III.3 Dérivées et variations . . . . 32

IV Cosinus et sinus : point de vue fonctionnel . . . . 33

IV.1 Définitions . . . . 33

IV.2 Variations des fonctions cosinus et sinus . . . . 34

IV.3 Courbes . . . . 34

IV.4 Exemple d’étude de fonction trigonométrique . . . . 34

V ANNEXE 1 pour l’idée de continuité . . . . 35

V.1 Approche expérimentale . . . . 35

V.2 Continuité en a . . . . 35

VI ANNEXE 2 : La fonction tangente . . . . 36

• • •

(22)

L 2 : Les fontion s

TS >

^2017/18

Le second degré, vu en classe de 1ère S, est à connaître IMPÉRATIVEMENT : solutions événtuelles d’une équation du second degré, signe d’une expression du second degré, représentation graphique et variations d’une fonction polynomiale du second degré.

I Limite d’une fonction

I.1 Activités

Celles du livre page 60 : SituationsA,B etC.

I.2 Définitions

I.2.1 Limites en+∞et en−∞( x7−→ ±∞)

f est une fonction définie sur un intervalle de la formeI_α = [α; +∞[ouI_β=]− ∞;β].

1. ^LiÆmite ^iÆnfiÆnie ⁽ x7−→ ±∞⁾

DéfiÆnition

D é f i n i t i o n : On dit quef(x) tend vers+∞ lorsquex tend vers+∞, quand tout intervalle du type[A; +∞[contient toutes les valeurs def(x)pour xassez grand.

Cela se note lim

x→+∞f(x) = +∞

• Ce qui se traduit concrètement et rigoureusement par :

« A∈R, ilexisteun réelx_A(qui dépend deA) tel que :

x∈I_α etx>x_Aimplique quef(x)>A( ou encoref(x)∈[A; +∞[) »

O [

α

Remarque 5 Utiliser la définition pour prouver que lim

x→+∞f(x) = +∞ revient à chercher s’il existe des solutions dansIα à l’inéquationf(x)>Aet ceci pour n’importe lequel des nombresA que je choisis.

Exemple 28 f(x) =x² ^dénie^surI0= [0; +∞[⁽f(x)>0^don^hoix^deA>0⁾

A= 100 A= 10⁶ ^... A^quelonque^positif

EXERCICE 6 Prouver que lim

x→+∞

√x= +∞

DéfiÆnition

D é f i n i t i o n : On dit quef(x) tend vers−∞ lorsquex tend vers+∞, quand tout intervalle du type]−∞;B]contient toutes les valeurs def(x)pour xsuffisamment grand.

Cela se note lim

x→+∞f(x) =−∞

(23)

EXERCICE 7(a) Écrire deux définitions analogues traduisant lim

x→−∞f(x) = +∞et lim

x→−∞f(x) =

−∞

(b) Donner un exemple de fonction pour chacune des limites précédentes.

Fonctions de référence dont il faut retenir les limites

x→lim+∞x= +∞ lim

x→−∞x=−∞

x→lim+∞x² = +∞ lim

x→−∞x² = +∞

x→lim+∞xⁿ= +∞ (n∈N∗) lim

x→−∞x³ =−∞

x→lim+∞

√x= +∞ lim

x→−∞xⁿ=

+∞ sinest pair

−∞ sinest impair 2. ^LiÆmite ^fiÆnie ⁽ f(x)7−→ℓ⁾

DéfiÆnition

D é f i n i t i o n : On dit quef(x)tend versℓlorsquextend vers+∞, quand tout intervalle ouvert contenantℓ, contient toutes les valeurs def(x) pourx suffisamment grand.

Cela se note lim

x→+∞f(x) =ℓ

• Traduction rigoureuse :

« pour toutǫ >0, ilexisteun réelx_ǫ(qui dépend deǫ) tel que :

x∈I_αetx>x_ǫimplique que|f(x)−ℓ|< ǫ( ou encoref(x)∈]ℓ−ǫ;ℓ+ǫ[) »

O ℓ

+

α[

Remarque 6 Utiliser la définition pour prouver que lim

x→+∞f(x) =ℓrevient à chercher s’il existe un nombre à partir duquel tous les nombres plus grands sont solutions dansI_α de l’inéquation

|f(x)−ℓ|< ǫet ceci pour n’importe lequel des nombresǫque je choisis.

Exemple 29 f(x) = 1

x ^dénie^surI0=]0; +∞[

ǫ= 0,1 ǫ= 10⁻⁵ ^... ǫ^quelonque^positif

EXERCICE 8 Prouver que lim

x→+∞

3x−1 x+ 2 = 3

DéfiÆnition

On dit quef(x)tend versℓlorsquextend vers−∞, ...

On note ...

EXERCICE 9 Donner un exemple de fonction : une vérifiant lim

x→+∞h(x) = 1et l’autre lim

x→+∞g(x) =

−2

(24)

Fonctions de référence dont il faut retenir les limites

x→lim+∞

1

x = 0 lim

x→−∞

1 x = 0

x→lim+∞

1

x² = 0 lim

x→−∞

1 x² = 0

x→lim+∞

1

xⁿ = 0 (n∈N∗) lim

x→−∞

1

xⁿ = 0 (n∈N∗)

x→lim+∞

√1 x = 0 3. Asymptote horizontale

DéfiÆnition

Lorsque f a pour limite ℓ en +∞ (en −∞), on dit que la droite d’équation y = ℓ est asymptote horizontale à la courbeC_f en +∞ (en −∞). D’un point graphique, la courbe def « se rapproche » de la droite d’équationy=ℓ.

x→lim+∞f(x) =ℓ

O ℓ

+

α[

x→−∞lim f(x) =ℓ

O ℓ

+

β] Exemple 30 ^T^raduire graphiquementlalimitede l'exerie8.

I.2.2 Limite d’une fonction en un réela(x7−→a)

f est définie sur un ensemble (intervalle, réunion d’intervalles, ...) dontaest l’une des bornes.

1. ^LiÆmite ^iÆnfiÆnie ⁽ f(x)7−→ ∞⁾

DéfiÆnition

On dit quef(x) tend vers+∞lorsque xtend vers a, quand tout intervalle de la forme[A; +∞[contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche de a.

Cela se note lim

x→af(x) = +∞ Traduction approximative :

« Il existe des xproche deadont l’image dépasse n’importe lequel des nombres que je choisis » Exemple 31 ^Déterminer lim

x→0

1 x²

Faireunshémaillustrantlerésultat.

2. ^LiÆmite ^fiÆnie ⁽ f(x)7−→ℓ⁾

DéfiÆnition

On dit que f(x) tend vers ℓ lorsque x tend vers a, quand tout intervalle ouvert contenantℓ, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche de a.

Cela se note lim

x→af(x) =ℓ

(25)

Remarque 7 Dans certains cas, pourxproche dea,f(x)prend des valeurs positives très grandes et des valeurs négatives très petites suivant quexest inférieur ou supérieur àa,

doncf n’a pas de limite ena.

Exemple 32 f :x7−→ 3

x−2^.^Étude^en ^2.

x ^1.9 ^1.99 ^1.999 ^1.9999 ^1.99999 f(x)

x ^2.1 ^2.01 ^2.001 ^2.0001 ^2.00001 f(x)

O

3. AsÆym ptote vertiale

DéfiÆnition

Lorsque lim

x→af(x) = +∞ ou−∞, on dit que la droite∆ :x = aest asymptote verticale àC_fet cette définition se généralise aux limites à gauche ou à droite.

Illustrations :

xlim→af(x) = +∞

O

xlim→af(x) =−∞

O

xlim→a x>a

f(x) = +∞, lim

x→a x<a

f(x) =−∞

O

I.3 Opérations sur les limites

On considère deux fonctionsf etg, admettant des limites soit en−∞, soit en+∞, soit en un réela.

Limite d’une somme

lim f ℓ ℓ +∞ −∞ +∞

lim g ℓ^′ ±∞ +∞ −∞ −∞

lim(f+g) FI

Limite d’un produit

lim f ℓ ℓ6= 0 +∞ +∞ −∞ 0

lim g ℓ^′ ±∞ +∞ −∞ −∞ ±∞

lim(f ×g) FI

Limite d’un quotient

lim f ℓ ℓ +∞ −∞ ℓ6= 0 0 ±∞

lim g ℓ^′ 6= 0 ±∞ ℓ^′ 6= 0 ℓ^′ 6= 0 0 0 ±∞

lim(_g^f) ∞ FI FI

Attention, de nombreu ses situation s nées sitent lutili sation de la règle des signes de la multi-

pliation ou de la diÆvi sion (e sont les mêmes!)