Variations des fonctions cosinus et sinus

IV.4 Exemple d’étude de fonction trigonométrique On considère la fonction h:R−→R

x 7−→cos(2x) sin(x)−1 1. Étudier les variations dehsur

0;^π₂ . 2. Pour toutxréel, calculerh ^π₂ +x

−h ^π₂ −x

. Que peut-on en déduire pour la courbe deh?.

3. Pour toutxréel, calculer 1

2[h(π−x) +h(π+x)]. Que peut-on en déduire pour la courbe deh?.

4. Calculer, pour toutxréel,h(x+ 2π). En déduire le tracé deCh.

• • •

V ANNEXE 1 pour l’idée de continuité

1. f est-elle une fonction ?

2. Combien vautf(0),f(2),f(4)?

3. Construire la courbe de la fonction f dans le repère ci-contre.

4. Par simple lecture graphique, donner lim

x→2

Quelle conclusion peut-on en tirer ?

V.1.2 Un raccordement

2. Construire la courbe de la fonction f dans le repère ci-contre.

3. Par simple lecture graphique, donner lim

x→−3

Quelle conclusion peut-on en tirer ?

V.1.3 Avec un trou

On considère la fonctionf définie surR− {2}par :f(x) = x²−3x+ 2 x−2 1. f admet-elle une image en 2 ?

2. Émettre une conjecture sur la limite def en 2. La démontrer.

3. Conclusion.

3. En utilisant la définition d’une limite finie en 1, prouver quef n’a pas de limite en 1.

V.2 Continuité en a

On peut lire dans le programme de Terminale S qu’une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont on peut tracer la courbe « sans lever le crayon » .

A la lumière de ce que nous venons de voir, peut-on donner une définition rigoureuse de la continuité d’une fonction ena(a∈I) ?

VI ANNEXE 2 : La fonction tangente

Cette annexe est sous la forme d’un exercice.

On appelle la fonction tangente la fonction, notéetan, définie par tan(x) = sin(x)

cos(x) On noteCsa courbe représentative.

Partie A : Étude globale

1. Justifier que l’ensembleDde définition de la fonctiontanestR−n

(2k+ 1)π

2, k ∈Zo . 2. La fonction tangente est-elle paire ? impaire ? Que peut-on en déduire pour la courbeC? 3. Démontrer que, pour toutxappartenant àD,x+π appartient àDettan(x+π) = tan(x). Que

peut-on en déduire ?

Partie B : Étude de la fonction tangente

D’après les résultats précédents, on peut restreindre l’étude de la fonction tangente à l’intervalle h

0;π 2

1. Déterminer la limite de la fonctiontanà gauche en π

2. Interpréter graphiquement le résultat.

2. Établir que, pour tout réel appartenant àD:

(tan)^′(x) = 1 + tan²(x) = 1 cos²(x) 3. Dresser le tableau de variations de la fonction tangente surh

0;π 2

h. 4. Construire la courbeCsurD ∩[−2π; 2π].

Partie C : Position relative de courbes.

1. Déterminer l’équation de la tangenteT àCau point d’abscisse 0.

2. Étudier le signe de la fonctiongdéfinie suri

−π 2;π

hparg(x) = tan(x)−x.

(On commencera par l’étude des variations deg) 3. En déduire la position deCpar rapport àT.

Chapitre 3

Nombres complexes (partie 1)

Sommaire

I Découvrir les nombres complexes sans complexe . . . . 38 II L’ensembleC . . . . 38 II.1 Un nouvel ensemble de nombres . . . . 38 II.2 Un vocabulaire spécifique . . . . 38 II.3 Égalité de deux nombres complexes . . . . 38 II.4 Somme et produit de deux nombres complexes . . . . 39 II.5 Quotient de nombres complexes . . . . 39 II.6 Résolution d’équations dansC. . . . 39 III Le plan complexe . . . . 39 III.1 Affixe d’un point . . . . 39 III.2 Affixe d’un vecteur . . . . 40 IV Conjugué d’un nombre complexe . . . . 40 V Équations du second degré . . . . 41 V.1 Racines carrées d’un réel . . . . 41 V.2 Équationax²+bx+c= 0avec (a, betcréels ;a6= 0) . . . . 42 VI Annexe 1 . . . . 43 VI.1 Une formule pour une solution dex³=px+q, (p, q)∈R² . . . . 43 VI.2 Des calculs avec i . . . . 43 VI.3 Aspect géométrique des nombres complexes . . . . 43

• • •

L 3 : Nombres om plexes (1)

TS >

^2017/18

I Découvrir les nombres complexes sans complexe

Voir l’annexe 1.

II L’ensemble C

II.1 Un nouvel ensemble de nombres

Théorème

T h é o r è m e:

Il existe un ensemble C (ensemble des nombres complexes) contenant Ret véri-fiant :

• Ccontient R.

• Cest muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles deR et suivent les mêmes règles de calcul.

• Il existe un élément i deCtel que i²=−1.

• Tout élémentzdeCs’écrit de manière unique : z=a+ib (aetbréels)

II.2 Un vocabulaire spécifique

Si un nombre complexe s’écrit de manière uniquez=a+ibaveca, bréels alors :

• a+ibs’appelle l’écriture algébrique dez;

• aest lapartie réelledez; on notea=Re(z);

• best lapartie imaginairedez, notéeb=Im(z);

• Re(z)etIm(z)sontdes nombres réels;

• Si b= 0alors z=a etz∈R(on retrouve le fait queCcontientR). On dit alors quezest réel;

• Si a= 0alors z=ib , on dit alors quezestimaginaire pur.

• • • EXERCICE 11 Soitx∈Retzle nombre complexe défini par :

z=x+ 2 +i(x−ix) + 2i−5ix 1. À quelle condition portant surx,zest-il réel ?

2. À quelle conditionzest-il imaginaire pur ?

• • •

II.3 Égalité de deux nombres complexes

a, b, a^′, b^′sont des nombres réels quelconques.

z=z^′ ⇔a+ib=a^′+ib^′ ⇔ a=a^′ etb=b^′ En particulier : a+ib= 0⇔a=b= 0.

II.4 Somme et produit de deux nombres complexes

On utilise les mêmes règles de calcul que dansRen tenant compte du fait que i²=−1 Voir exemples dans l’activité de découverte.

Exemple 47 ^Donner^l'ériture^algébrique^dez1= (2ⁱ−1)(3 + 4ⁱ)−4ⁱ(3−2ⁱ)²

etdez2= (x+ⁱy)(x−ⁱy)^(ave(x, y)∈R²)

II.5 Quotient de nombres complexes

Comme tout nombre complexe peut s’écrire sous la formea+ib:

• 1 Remarque 11 Cette technique est à connaître.

EXERCICE 12 Calculer(a+ib)(a−ib)

En déduire la valeur du produit suivant :(a+ib)( a

a²+b² −i b

a²+b²)et l’inverse dea+ib.

II.6 Résolution d’équations dansC

Les techniques utilisées dansRsont transposables donc :

Résoudre dansC

2. En déduire les solutions dansCde l’équation z²−6z+ 25 = 0

III Le plan complexe

Le plan muni d’un repère orthonormal direct(O;~u, ~v)est appeléplan complexe.

III.1 Affixe d’un point

• Soit z = x+iy un nombre complexe, le point M de coordonnées(x, y)est l’image deznotéM(z).

• Si le point M a pour coordonnées (x, y), on lui associe le nombre complexe z = x + iy appelé

affixe deM et notéz_M.

III.2 Affixe d’un vecteur

•Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes affixes

Compléter les affixes des points sur la figure.

Déterminer les affixes des vecteurs

−−→AB,−−→OF,−−→CD,−−→AB−−−→CD,−3−−→BC+ 2−−→AB, puis celle du milieuI de[DC].

IV Conjugué d’un nombre complexe

Soitz∈CetM son point image dans le plan complexe.

Placer les trois points images des nombres complexesz,−zet

−z.

Propriétés

∗ zréel⇔ z=z ;

∗ zimaginaire pur⇔ z=−z ;

∗ Pour tout nombrezcomplexe, z=z .

∗ Pour tous nombres complexeszetz^′, et tout entiern:

• z+z^′=z+z^′ ; −z=−z ; zz^′ =zz^′ ; zⁿ=zⁿ ;

• 1

= 1

z et (z z^′) = z

z^′

∗ ∀z∈C, z+z=2Re(z)

∗ ∀z∈C, z−z=2iIm(z)

∗ ∀z∈C,z=a+ib. zz estréelet zz=a²+b²

EXERCICE 14 Déterminer les conjugués des nombres complexes suivants :

z₁ = (2−i)(i−5)etz₂ = 3 + 2i 3i

EXERCICE 15 Déterminer l’ensembleE des pointsM d’affixeztels quez²−zsoit réel.

EXERCICE 16 Équation « mélangeant » zetz.

Résoudre les deux équations suivantes :2z+i=z+ 1etz² =z

V Équations du second degré

V.1 Racines carrées d’un réel

Théorème

• Si a>0, l’équation z²=a admet deux solutionsréelles opposées √ a et

−√ a ;

• Sia60, l’équation z²=a admet deux solutionsimaginaires conjuguées i√

−a et −i√

−a.

Exemple 49 ^Quelles^sont^les^solutions^de ^l'équationz²=−8^?

V.2 Équationax²+bx+c= 0 avec (a, betcréels ;a6= 0)

Théorème

L’équationax²+bx+c= 0avec (a, b et créels ;a6= 0) admet des solutions dansC. On note∆ =b²−4acle discriminant de l’équation.

• Si ∆ = 0, une solution unique : x=− b

2a (réel)

• Si ∆>0, deux solutions réelles : x= −b±√

∆

2a ;

• Si ∆<0, deux solutions complexes conjuguées : x= −b±i√

−∆

2a ;

Exemple 50 ^Résoudre^dansCl'équationx²+x+ 1 = 0^.

EXERCICE 17 :

Pour tout nombre complexez, on pose :

P(z) =z³−3z²+ 3z+ 7 1. CalculerP(−1).

2. Déterminer les réelsaetbtels que pour tout nombre complexez, on ait : P(z) = (z+ 1)(z²+az+b)

3. Résoudre dansCl’équationP(z) = 0.

VI Annexe 1

VI.1 Une formule pour une solution dex³ =px+q, (p, q)∈R²

Un mathématicien italienScipione del Ferro(1465-1526) propose une formule donnant une solution x₀ de l’équation du troisième degré :x³ =px+qoùpetq sont des nombres réels.

(le théorème des valeurs intermédiaires nous assure l’existence d’au moins une solution à cette équation)

x₀ =

En essayant d’utiliser la formule ci-dessous, déterminer une solution de(E) : x³ = 36x+ 91.(E) a-t-elle d’autres solutions ?

Recommencer avec l’équation(E^′) : x³= 15x+ 4, que remarquez-vous ?

Rafaël Bombelli (1526-1573) eut l’idée d’utiliser les règles de calcul usuelles en tenant compte du fait que(√

−1)² =−1(règle habituellement interdite dans l’ensembleRdes nombres réels).

• Prouver alors que(2 +√

−1)³ = 2 + 11√

−1 et que(2−√

−1)³ = 2−11√

−1;

• Prouver également que(11√

−1)² = (−11√

−1)²=−121.

En utilisant les règles de calculs précédentes, prouver que 4 est solution de(E^′).

Léonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse, eut l’idée de poser i = √

−1et donc i² = −1.

Réécrire les égalités précédentes avec la nouvelle notation VI.2 Des calculs avec i

1. Effectuer les calculs suivants et mettre les résultats sous la formex+iy.

• (3 + 5i) + (1−2i) ;(3−2i) + (−2 +i) ;(3 +i) + (−3 +i) ;(4−3i)−(1−i);

• (−5 + 2i)−(8 +i) + (3−4i)−5i+ 1 ;(1 +i) + (1 + 2i) + (1 + 3i)−2−5i) 2. Même consigne avec les produits suivants :

•(−5 + 2i)(4 +i) ;(3−i)(3 +i) ;(3 +i)² ;(3 +i)³ ; i³ ; i⁴ ;(1−i)³ ;(1 +i)²(1−i)². 3. Mettre sous la formex+iyles nombres 1

3−4i et 1−i 1 +i. VI.3 Aspect géométrique des nombres complexes

L’écriturex+iyavecxetyréels nous aiguille vers le couple(x;y)coordonnées d’un point représen-tant un nombre complexe dans un plan appelé plan complexe et repéré par(0;−→u;−→v).

Placer dans le plan complexe le pointAassocié au nombrez_A = 3 + 2i, puis le pointB associé au nombrez_B =−1 + 4i. Placer le pointC associé àz_A+z_B et le pointDcorrespondant àz_Az_B.

Chapitre 4

La fonction exponentielle

Sommaire

I Introduction . . . . 46 II Une fonction égale à sa dérivée . . . . 47 II.1 Propriétés vérifiées par une solution de(Ed) . . . . 47 III La fonction Exponentielle . . . . 48 III.1 Théorème et Définition . . . . 48 III.2 Nombreeet notatione^x . . . . 48 III.3 Propriétés asymptotiques : limites en l’infini . . . . 49 III.4 Courbe de la fonctionexp. . . . 49 III.5 Croissance comparée. Limites de référence . . . . 50 III.6 Fonction dérivée de e^uavecudérivable sur un intervalle I . . . . 51 IV Annexe 1 : Méthode d’Euler . . . . 52

• • •

L 4 : La fontion exponentielle

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^2017/18

I Introduction

Un noyau radioactif, instable, se désintègre (c’est à dre qu’il se transforme spontanément après une durée indéterminée en un noyau plus stable). S’il est impossible de prévoir la date de désintégration d’un noyau donné, on constate cependant en considérant à un instanttun échantillon macroscopique d’un grand nombre de noyaux, que la variation du nombre de ces noyaux par seconde est proportion-nelle au nombre de noyaux présents à l’instanttdans l’échantillon.

On appelleN₀ le nombre initial de noyaux etN(t)le nombre de noyaux restants (non désintégrés) à l’instantt.

Supposons que l’expérience commence à un instanttalors, pour touth >0,N(t+h)est le nombre de noyaux présents à la datet+h.

On note∆tla variation du temps entre les datestett+h, on a donc∆t= (t+h)−t=h.

La variation du nombre de noyaux entre les datestett+hest doncN(t+h)−N(t)que l’on nomme

∆N.

La variation du nombre de noyaux par seconde est proportionnelle au nombre d’atomes présent au début de l’expérience et à la variation de temps entre les deux dates. Cela signifie qu’il existe un réelk tel que

∆N =kN(t)∆t ⇔ ∆N

∆t =kN(t) (1) Remarque 13 ∆N <0carN(t+h)−N(t)<0donck <0.

Les physiciens préférant travailler avec des constantes positives, on pose k = −λ avec λ > 0.λ est appelée constante de désintégration radioactive, elle est caractéristique de noyau considéré.

Par exemple, pour le Radium 226, elle vaut environ1,37×10⁻¹¹(ens⁻¹).

En exprimant∆N

∆t on trouve. . . ., ce qui nous fait penser au. . . . de la fonctionN. Si l’expérience dure un temps extrêmement court, cela se traduit par une valeur

dehproche de0. Il est donc « naturel » de s’intéresser à

hlim→0

N(t+h)−N(t)

h =

hyp:N drivable. . . .et donc (1)⇔. . . .

Ceci signifie queN est une fonction proportionnelle à sa dérivée. Pour déterminerN, il faut donc savoir résoudre une équation mettant en jeu une fonction et sa dérivée. Une équation où l’inconnue est . . . ..

On note cette équation

y^′ =−λy et la fonctionN (vérifiantN(0) =N₀) en est la solution.

• • •

Dans cette leçon, l’enjeu sera le suivant : Existe-t-il une fonctionf dérivable surRvérifiant (E_d)

f^′(x) =f(x) f(0) = 1 ?

Pour conclure, on donnera ensuite une expression possible de la fonctionN de l’introduction.

II Une fonction égale à sa dérivée

II.1 Propriétés vérifiées par une solution de(Ed)

Résultat

ADMIS

Il existe une fonctionf solution de(E_d).(ce qui donne une raison de la chercher) Pour les courageux et/ou les « amoureux des maths », voir une preuve de l’existence d’une telle fonction :

Lien vers l’existence 1. ⊲La fonctionf est continue surR.

2. ⊲La fonctionf vérifie la relation fonctionnellef(x+a) =f(x)f(a), ∀(x, a)∈R²

Trame de la

Démonstration

Soitaun nombre réel fixé (constante). On posek(x) =f(x+a)f(−x)pour tout x∈R

(a) Montrer quekest dérivable surRet calculerk^′(x).

(b) Calculerk(0). En déduire que, pour tousxetaréels : f(x+a)f(−x) =f(a) (2) (c) Déduire de (2) les résultats suivants :

i. f(x)f(−x) = 1pour toutx∈R; ii. la fonctionf ne s’annule pas surR; iii. f(x+a) =f(x)f(a), ∀(x, a)∈R²

3. ⊲La fonctionf est strictement positive surR

4. ⊲Unicité de la fonctionf

Comme souvent en mathématiques, pour démontrer l’unicité d’un objet mathématique, on sup-pose qu’il y en a deux.

Supposons qu’il existe deux fonctions f₁etf₂dérivables surR, solutions de(E_d).

On pose, pour toutx∈R,m(x) =f1(x)f2(−x).

5. ⊲Courbe de la fonctionf

O a+h

« interpolé » par le point M_appr. de la tangente ayant la même abscisse.

Grâce à la méthode d’Euler qui s’appuie sur l’approxima-tion affine d’une foncl’approxima-tion dérivable ena.

f(x)≈f^′(a)(x−a) +f(a)pourxvoisin dea.

On peut calculer, avec une précision mesurée, les images par la fonctionf et construire une courbe «approchée».

AtiÆvité

ACTIVITÉ de construction de la courbe de la fonctionf vérifiant le système différentiel(E_d) : Voir l’Annexe1.

III La fonction Exponentielle

III.1 Théorème et Définition

Théorème Il existe uneuniquefonctionf dérivable surR, telle que f^′ =f et f(0) = 1. On l’appelleexponentielleet elle est notée exp.

Con séquenes :

• exp(0) = 1 ;

• expest dérivable surRet exp^′(x) = exp(x) ;

• ∀x∈R, exp(x)>0 ;

• expest strictement croissante surR.

Propriété

Pour tous réelsaetbet pour tout entier relatifn:

• exp(a−b) = exp(a)

III.2 Nombreeet notatione^x

Le nombreexp(1)est noté e .La calculatrice nous donne : e≈2,718281828.

Aveca= 1 dansexp(na) = [exp(a)]ⁿ, on obtient :exp(n) =...

On décide de prolonger à toutxréel, l’égalité obtenue sur les entiers et on pose, par convention : exp(x) =e^xpour toutx∈R

Reformuler les propriétés et constater qu’elles correspondent à l’usage d’une notation puissance.

Remarque 14 Comme tout nombre réel, le nombre e est limite d’une suite de nombres rationnels, il est important de savoir que

e= lim

n→+∞ 1 + _n¹n

III.3 Propriétés asymptotiques : limites en l’infini

Propriété

LiÆmites en liÆnfiÆni :

x→lim+∞e^x = +∞ et lim

x→−∞e^x= 0 ; une limite de référence : lim

x→+∞

e^x

x = +∞ La courbeCexpadmet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale en−∞.

Démonstations: On poseϕ(x) =e^x−x idées:y =−xet ^x₂

III.4 Courbe de la fonctionexp

O 1

e 1

C_exp

y=x+1

bcbc

Équations des tangentes aux points de Cexp d’abscisses 0 et 1 :

Propriétés

• e^x=e^y ⇔x=y ,démo:La fonction exponentielle et continue et strictement croissante surRdonc c’est une bijection deRsur]0; +∞[: Tout nombre réel strictement positif a un unique antécédent parexp.

• Cas particulier : e^x= 1⇔x= 0 ,démo:y = 0dans la propriété précédente.

• Pourx, y∈R, e^x <e^y ⇔x < y ,démo:expest strictement croissante sur R

• Cas particulier : 0<e^x<1⇔x <0 , démo : y = 0 dans la propriété précédente ete^x>0,∀x∈R.

• Cas particulier : e^x >1⇔x >0 ,démo:Encore le sens de variation.

Remarque 15 Ces propriétés seront très utiles pour trouver les signes d’expressions comportant des exponentielles : notamment les signes de dérivées dans les études de fonctions.

Utilisées également dans la résolution d’équations et d’inéquations.

Exemple 51 ^Résoudre^les^équations ^ouinéquationssuivantes:

∗ ^e^3x−1= 1⇔...

∗ ^e^x²^−x=^e⇔...

∗ ^e^3−4x< 1

⇔...

∗ ^e^5−x² >^e^4x⇔...

• • •

Exemple 52 ^Déterminer^le^signe ^de^e^x²−^e^x^lorsquex∈R.

III.5 Croissance comparée. Limites de référence LIMITES

LiÆmites à onÆnaître :

∀n∈N, lim

x→+∞

e^x

xⁿ = +∞ et lim

x→−∞xⁿe^x= 0 Traduction possible à utiliser avec prudence :

A l’infini, l’exponentielle dexl’emporte sur toute puissance dex.

EXERCICE 18 Calculer les limites suivantes :

• lim

x→+∞

e^2x+1 x

• lim

x→+∞

3 6 + 2e⁻^x

• lim

x→+∞

e^x

√x

• lim

x→+∞

x+ 3 e^x+ 1

• lim

x→+∞

e^x+x 3−2e^x

• lim

x→+∞

e^x x²−2x−1

• lim

x→−∞

x³−3x−1 e^x

• lim e^x−1

III.6 Fonction dérivée de e^u avecudérivable sur un intervalle I

Théorème

Soituune fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction e^u, est dérivable sur l’intervalle I et on a :

(e^u)^′ =u^′×e^u Dans le cas où la fonctionuest affine,

la dérivée de x7→e^ax+b est la fonctionx7→. . . . La démonstration s’obtient par la dérivation de fonctions composées et le fait que(exp)^′ = exp.

Exemple 53 ^Soitf ^la^fontion^dénie^surRpar:f(x) =^e¹^−x².

Calulerf^′(x)^et^déterminer^les^variations^def ^surR.

EXERCICE 19 Associer chaque courbe à sa fonction :f₁ :x7−→e⁻^x²;f₂:x 7−→e⁻^x¹ ;f₃:x7−→e⁻^x.

1 O

O 1

IV Annexe 1 : Méthode d’Euler

Approximation affine d’une fonctionf ena

O ~i

a a+h f(a+h)

f_app(a+h) Ta

C_f

bc bcbc

Soitf une fonction dérivablea(a∈R).

Conséquence : C_f admet en ce point une tan-genteT_a.

L’équation deT_a est :y=f^′(a)(x−a) +f(a) L’équation deC_f est :y=f(x)

Méthode :

On prend comme valeur approchée def(a+h), la valeur de f_app(a+h) obtenue en remplaçant xpara+h dans l’équation de la tangente On a donc :

f

_app

( a + h ) ≈ f

^′

( a ) h + f ( a )

Soitfl’unique fonction dérivable surRvérifiant le problème différentiel (E_d)

∀x∈R, f^′(x) =f(x) f(0) = 1

1. En utilisant le principe d’approximation affine avech = 0.5, calculer les valeurs approchées de f(0.5) et def(1). En déduire celles def(−0.5)et def(−1).

...

1 2 3 4

0.5 1.0 1.5

−0.5

−1.0

−1.5

−2.0

2. hest désormais un nombre positif proche de 0. Donner, toujours par le même principe d’approxi-mation affine, les valeurs approchées def(h),f(2h), .... ,f(nh)pour toutn∈N. Quelles remarques pouvez-vous faire ?

3. Écrire un algorithme qui permet de placer dans un repère les points de la courbe de la fonctionf entre−3et3. L’utilisateur devra saisir la valeur deh.

• • •

Chapitre 5

Les probabilités Discrètes

Sommaire

I Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités . . . . 54 I.1 Univers . . . . 54 I.2 Loi de probabilité . . . . 54 I.3 Calculs de probabilités . . . . 55 I.4 Arbre de probabilités . . . . 56 II Variables aléatoires . . . . 56 II.1 Notion de variable aléatoire . . . . 56 II.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . 57 II.3 Paramètres d’une loi de probabilité . . . . 57 III Probabilités conditionnelles . . . . 58 III.1 Exemple introductif . . . . 58 III.2 Probabilité conditionnelle . . . . 59 IV Indépendance . . . . 60 IV.1 Événements indépendants . . . . 60 V Loi Binomiale . . . . 60 V.1 Combinaisons . . . . 60 V.2 Dénombrer les combinaisons . . . . 60 V.3 Propriétés des coefficients binomiaux . . . . 61 V.4 Loi Binomiale . . . . 61

• • •

L 5 : Probabilités onditionÆnelles

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^2017/18

I Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités

Une expérience aléatoire est une expérience liée au hasard. Les mathématiques interviennent pour apporter un modèle « collant » le mieux possible à la réalité. Ce modèle comporte ununiverset une loi de probabilité. Le choix de ces deux éléments n’est pas unique mais il est généralement induit par une approche fréquentiste et une idée que l’on se fait à priori de l’expérience.

Exemple 54 ^:

L'expérieneonsisteà lanerune pièedemonnaie(pile oufae)

• ^Quelles^sont ^les^issues^possibles^?

• ^Quelle probabilitéattibue-t-onàhaqueissue?

I.1 Univers

Voabulaire

• Expérience aléatoire : C’est une expérience qui a plusieurs issues pos-sibles et l’on ne peut pas prévoir avec certitude quel sera le résultat. Elle est liée au hasard.

• UniversΩ: C’est l’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire.

on noteΩ ={x₁, x₂, ..., x_n}

• Événement : C’est un résultat composé d’une ou plusieurs issues d’une expérience aléatoire. C’est une partie de l’universΩ.

Exemple 55 ^:

• Ôn^laneûn^dé*êtôn^regarde ^le^numéro^de^la^fae ôbtenue^: Ω ={1,2,3,4,5,6}

• Ôn^laneûn^dé*êtôn^regarde ^si^le^numéro^de^la^faeôbtenueêst^pairôu împair^: Ω ={P, I}

• ^On^lane^une^pièe^de ^monnaie*^:Ω ={P, F}

• ^On^lane^deux^pièes^de^monnaie*^:Ω ={. . . .}

• ^On^lane^deux^dés*^: Ω ={(i, j), 16i, j66}

*:équilibré(e)(s)oupas

I.2 Loi de probabilité

DéfiÆnition

Définir une loi de probabilité P sur Ω, c’est associer à chaque issue x_i un nombrep_ipositif ou nul vérifiant06p_i61tel que :

p₁+p₂+...+p_n= 1oùnest le nombre d’issues de l’univers.

p_iest appelée probabilité de l’issuex_iet cela se note :P(x_i) =p_i. P : Ω−→[0; 1]

x_i 7−→P(x_i) =p_i

Exemple 56 ^:Ûneûrneômporte^six^boules^:³^rouges, ²^jaunesêt¹^bleue.Ôn^prélèveûne^bouleêtôn^note^saôuleur.

Quelleloide probabilitéest-ilraisonnabled'assoieràetteexpériene?

I.2.1 Un cas particulier : la loi équirépartie (uniforme)

LorsqueΩest decardinal fini(nombre d’éléments deΩfini) et que l’on attribue la même probabilité à chaque issue, on dit que l’on choisit une probabilitéP équirépartie, on a alors :

• pour toute issuex_i deΩ: P(x_i) = 1 card(Ω)

• pour tout événementA: P(A) = card(A)

card(Ω) = nombre d^′el´´ements de A nombre d^′el´´ements deΩ On dit aussi, dans une telle situation qu’il y aéquiprobabilité.

EXERCICE 20 :

Dans un jeu de 32 cartes, les cartes sont réparties en quatre catégories (coeur, carreau, trèfle, pique).

Dans chaque catégorie, il y a huit cartes : As - Roi - Dame - Valet - 10 - 9 - 8 - 7.

On tire une carte au hasard.

1. Quelle est la probabilité de tirer une carte rouge ? 2. Quelle est la probabilité de tirer un roi ?

3. Quelle est la probabilité de tirer une sept noir ? I.3 Calculs de probabilités

SoitΩun univers associé à une expérience aléatoire etP une loi de probabilité qui modélise l’expé-rience.

I.3.1 Probabilité d’un événement

Propriété

La probabilité d’un événement A est la somme de toutes les probabilités des issues appartenantàA.

Exemple 57 ^:^On^lane^un ^dé^truqué^tel^que^laprobabilitéderéalisationdesfaessoitproportionnelleauhiremarqué surlafae.

1. Quelle loide probabilitéP ^est^préonisée^dans^ette^situation^?

2. Caluler laprobabilitéd'obtenirunhire pair.

I.3.2 Événement contraire

DéfiÆnition

Propriété

L’événement contraire d’un événement Aest composé des issues de l’univers qui ne sont pas dansA. On le note A.

Sa probabilité se calcule de la manière suivante : P(A) = 1−P(A) Exemple 58 ^:

Onlaneànouveau ledétruqué del'exemplepréédentetonrelève lafaeobtenue.

A:^La ^faeôbtenue êstâu^moins²^.^DérireAêtâluler^saprobabilité.EndéduireP(A)^. I.3.3 Intersection et réunion d’événements

DéfiÆnition

AetB sont deux événements constitués d’issues d’un universΩ.

• L’intersectiondeA et de B est l’événement noté A∩B formé des issues communes à l’événementAetà l’événementB.

• La réunion de A et de B est l’événement noté A∪B formé des issues constituant l’événementAoul’événementB.

Exemple 59 Ôn^dispose^d'uneûrne^àl'intérieurde laquelleilya20boulesindisernablesautouhernumérotéesde1à 20.Ontireauhasarduneboule.Ononsidèrel'événementA:^le^numéro^de^la^bouleêst^divisible^par⁵ êtl'événement

B:^le^numéro^de^la^bouleêstûn ^hire.^Dérire^les^événementsA∩B êtA∪B^.^Caluler^leurprobabilité.

Propriétés

SoitAetBdeux événements, P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) (⋆). Certaines situations conduisent àP(A∩B) = 0, on dit alors que les événements AetB sontincompatibleset

(⋆)devientP(A∪B) =P(A) +P(B).

I.4 Arbre de probabilités AetB deux événements.

P(A) A

. . . B

P(A) A

. . . B

Règles et calculs sur un arbre de probabilités :

À chaque « nœud » figure une issue (ou événement).

On indique au dessus de chaque branche qui y conduit sa probabilité.

La somme des probabilités de toutes les branches partant d’un même noeud est égale à 1.

L’événement intersection est le résultat d’un chemin possible sur l’arbre et sa probabilité est le produit

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