Théorème et Définition - Limites de suites

On considère la suite(u_n)_n_∈Ndéfinie par :u₀ = 1etu_n+1= 0,2u_n+ 4.

On souhaite démontrer, par exemple, que pour tout nappartenant àN: u_n65 .

On nommeP(n)cette propriété écrite au rang n (P pourpropriétéetnpour insister sur le fait que la propriété dépendde cet entier)

Réflexe: On examine la propriété pour les premières valeurs prises par l’entiern.

u_n 5 P(n)vraie ou fausse

n= 0 n= 1 n= 2 n= 3 n= 4

On pourrait continuer ainsi l’examen de beaucoup d’entiers mais quel que soit le nombre de va-leurs dentestées semblant valider la propriété, on ne peut pas considérer la propriété vraie pour tout entier naturelndeN. (Est-il nécessaire de vous rappeler que l’ensembleNest infini ? Il y a toujours un entier après celui que vous avez testé !)

2. Caractère héréditaire d’une propriété

DéfiÆnition

SoitP(n) une propriété dépendant d’un entiernet n₀ ∈ N. On dit queP est héréditaire à partir du rangn0si

pourunentiern>n₀, P(n)vraieimpliquequeP(n+ 1)est vraie.

(il faut comprendre : supposer queP(n)est vraie pour unnimplique qu’elle est vraie au rang suivant)

Exemple 15 ^La^propriété ^du^1.^est-elle héréditaireàpartirde0?

Exemple 16 ^Soita^un^réel^positif.^SoitP(n)^la^propriété^:(1 +a)ⁿ>1 +na^.P ^est-ellehéréditaireàpartirde0?

3. Principe du raisonnement par récurrence (admis)

Théorème

SoitP(n)une propriété dépendant d’un entiernetn₀ ∈N. Si la propriété P(n₀)est vraie (initialisation),

et siP esthéréditaireà partir du rangn₀,

alors pour tout entiern>n₀, la propriétéP(n)est vraie.

Exemple 17 ^Les^propriétes^desêxemples¹⁵êt¹⁶^sont-elles^vraies^pour^toutnêntier^naturel.

EXERCICE 1 Soit la suite(u_n) définie par :

( u₀= 3 u_n+1= 1

2u_n−1 ∀n∈N . Démontrer par récurrence que(u_n)est décroissante et minorée par−2c’est à dire la propriétéP(n):u_n>u_n+1>−2

IV Comportement asymptotique d’une suite numérique

ouvert contenantℓcontient tous les termes de(u_n)_n_∈Nà partir d’un certain rang.

On dit alors que la suite(un)n∈Nest convergente ou converge versℓ.

Cela se note lim

n→+∞u_n=ℓ

• Traduction rigoureuse (Utiliser dans le supérieur en mathématiques) :

«Pour toutǫ >0, ilexisteun entier natureln_ǫ(qui dépend deǫ) tel que : Pour toutn>n_ǫ, on a|u_n−ℓ|6ǫ( ou encoreu_n∈[ℓ−ǫ;ℓ+ǫ]) »

Remarque 3 Lorsqu’une suite ne converge pas, on dit qu’elle diverge(C’est le cas des suites qui ont une limite infine ou de celles qui n’ont pas de limite). Par exemple la suite(−1)ⁿdiverge car ....

Théorème Si une suite(u_n)_n_∈Nconverge alors sa limiteℓestunique.

Exemple 18 ^Conjeturer^si^les^suites^suivantes,^dénies ^pour^toutêntier^natureln^,ôntûne^limite^nieêt^donner êlle-i

lorsqu'elleexiste.

Limite de suites de référence : 1

• Ce qui se traduit concrètement et rigoureusement par :

«Pour toutA∈R, ilexisteun entier natureln_A(qui dépend deA) tel que : Pour toutntel quen n , on au A( ou encoreu ∈[A; +∞[) »

• ou encore plus simplement mais avec moins de rigueur :

« Il existe un rangn, à partir duquelu_ndépasse n’importe lequel des nombres que je choisis. » Limites de suites de référence :(√n),(n),(n²),(n³), . . . ,(n^p)avecp∈N∗tendent vers+∞. Preuve pour la suite(n²): ....

Limite de suites de référence :Les suites(qⁿ)avecq>1ont pour limite+∞. EXERCICE 2 :

1. Donner la définition d’une suite(w_n)qui tend vers−∞. ....

2. Donner des suites qui tendent vers−∞. ....

IV.2 Suites n’ayant pas de limite

Par exemple, la suite définie surNparu_n= (−1)ⁿ, celle définie paru_n= cos(n), etc ... Il existe au moins un intervalle ne contenant pas tous les termes de la suites à partir de n’importe quel rang.

Exemple 20 (un)n∈N^dénie^parun =n(−1)ⁿ

IV.3 Limites de suites et opérations IV.3.1 Addition et soustraction

Soientℓetℓ^′ deux réels. Alors :

Si(u_n)a pour limite ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞ Si(v_n)a pour limite ℓ^′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

alors(un+vn)a pour limite . . . .

Exemple 21 ^Déterminer^les^limites^des^suites^dénies^surNparun= 3n²+ 2n−10^;vn =n²−n+ 1^puiswn=√n+ 1 n²^.

IV.3.2 Limite d’un produit Soientℓetℓ^′ deux réels. Alors :

Si(u_n)a pour limite ℓ ℓ >0 ℓ <0 ℓ >0 ℓ <0 +∞ −∞ +∞ 0 Si(v_n)a pour limite ℓ^′ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ±∞

alors(u_n×v_n)a pour limite . . . .

Exemple 22 ^Caluler lim

n→+∞

√n+ 1

(n²+ 3)

IV.3.3 Limite d’un quotient

Il existe4 formes indéterminéesqui nécessitent l’utilisation d’une technique ou d’une propriété pour lever l’indétermination.

IV.6.1 Théorème d’encadrement ou « des gendarmes » Théorème ^Si ^(uⁿ⁾ⁿ^∈^N^{et (w}ⁿ⁾ⁿ^∈^Nconvergent versℓ

IV.6.2 Existence de limite par comparaison

Théorèmes Ces théorèmes sont communément appelés « théorèmes de comparaison » . Exemple 25 ^Caluler lim

n→+∞n+ sin(n)

IV.6.3 Théorème de la limite monotone

Théorèmes

Soit(u_n)_n_∈N une suite monotone.

• Soit(un)n∈Nune suitecroissantede nombre réels.

⊲ Si(u_n)_n_∈Nest majorée alors elle est convergente.

⊲ Si(u_n)_n_∈Nn’est pas majorée, alors elle est divergente et lim

n→+∞u_n= +∞.

• Soit(un)n∈Nune suitedécroissantede nombre réels.

⊲ Si(u_n)_n_∈Nest minorée alors elle est convergente.

⊲ Si(u_n)_n_∈Nn’est pas minorée, alors elle est divergente et lim

n→+∞u_n=−∞. Remarque 4 Ce théorème établit l’existence de la limite d’une suite mais ne permet d’en donner la valeur.

Exemple 26 ^:

1. un= 0.2424...24⁽n^séquenes²⁴⁾

2. un= n n+ 1

EXERCICE 4 Soit(u_n)une suite décroissante et strictement positive. Montrer que la suite(w_n) défi-nie parw_n= 1

1 +u_n est convergente.

EXERCICE 5 Dans chaque cas, comparer la suite(u_n)à la suite(v_n) afin de déterminer la limite de la suite(u_n)

1. pour tout entiern≥3,u_n=n²+

rn+ 1

n−2 etv_n=n². 2. pour tout entier natureln,u_n=−n− n²+ 1

n²+ 2 etv_n=−n.

3. pour tout entier natureln,u_n=n³+ (−1)ⁿetv_n=n³.

IV.7 Application : limite d’une suite géométrique IV.7.1 Une Inégalité

On rappelle l’inégalité de Bernoulli,

Pour toutn∈Net toutaréel strictement positif, (1+a)ⁿ >1+na

Démontrer par récurrence plus tôt dans la leçon ! IV.7.2 Limite d’une suite géométrique

(u_n)est une suite géométrique de raisonq non nulle. On sait que, pour toutn∈N, u_n=u₀qⁿ. En utilisant les opérations sur les limites, pour connaître le comportement de (u_n), il suffit de connaître celui de la suite(qⁿ)et le signe deu₀.

Théorème

Soitqun nombre réel, on a :

• Siq >1, ...

• Si−1< q <1, ...

• Siq6−1, ...

• Siq= 1, ...

Démonstration (ROC)du premier point : (utiliser l’inégalité de Bernoulli et un théorème de com-paraison)

....

Exemple 27 ^Caluler^les^limites^suivantes^:

• lim

n→+∞−3×2ⁿ^.

• lim

n→+∞

2 5ⁿ^.

• lim

n→+∞5(−1 4 )ⁿ^.

• lim

n→+∞

2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ⁺¹ 3²ⁿ⁻¹

• lim

n→+∞1 + 1 2+

1 2

+. . .+ 1

2 n

• • •

Chapitre 2

Les fonctions

Sommaire

I Limite d’une fonction . . . . 22

I.1 Activités . . . . 22

I.2 Définitions . . . . 22

I.3 Opérations sur les limites . . . . 25

I.4 Limites en+∞et−∞d’une fonction polynôme . . . . 26

I.5 Limites en+∞et−∞d’une fonction rationnelle . . . . 26

I.6 Théorèmes de comparaison . . . . 26

I.7 Limite d’une fonction composée . . . . 27

II Continuité d’une fonction sur un intervalle . . . . 27

II.1 Continuité ena . . . . 27

II.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . 28

II.3 Théorème de la bijection . . . . 28

II.4 Résolution d’équations . . . . 29

III Dérivabilité d’une fonction sur intervalle . . . . 29

III.1 Rappel : dérivabilité et nombre dérivé . . . . 29

III.2 Calculs de dérivées . . . . 30

III.3 Dérivées et variations . . . . 32

IV Cosinus et sinus : point de vue fonctionnel . . . . 33

IV.1 Définitions . . . . 33

IV.2 Variations des fonctions cosinus et sinus . . . . 34

IV.3 Courbes . . . . 34

IV.4 Exemple d’étude de fonction trigonométrique . . . . 34

V ANNEXE 1 pour l’idée de continuité . . . . 35

V.1 Approche expérimentale . . . . 35

V.2 Continuité en a . . . . 35

VI ANNEXE 2 : La fonction tangente . . . . 36

• • •

L 2 : Les fontion s

TS >

^2017/18

Le second degré, vu en classe de 1ère S, est à connaître IMPÉRATIVEMENT : solutions événtuelles d’une équation du second degré, signe d’une expression du second degré, représentation graphique et variations d’une fonction polynomiale du second degré.

I Limite d’une fonction

I.1 Activités

Celles du livre page 60 : SituationsA,B etC.

I.2 Définitions

I.2.1 Limites en+∞et en−∞( x7−→ ±∞)

f est une fonction définie sur un intervalle de la formeI_α = [α; +∞[ouI_β=]− ∞;β].

1. ^LiÆmite ^iÆnfiÆnie ⁽ x7−→ ±∞⁾

DéfiÆnition

D é f i n i t i o n : On dit quef(x) tend vers+∞ lorsquex tend vers+∞, quand tout intervalle du type[A; +∞[contient toutes les valeurs def(x)pour xassez grand.

Cela se note lim

x→+∞f(x) = +∞

• Ce qui se traduit concrètement et rigoureusement par :

« A∈R, ilexisteun réelx_A(qui dépend deA) tel que :

x∈I_α etx>x_Aimplique quef(x)>A( ou encoref(x)∈[A; +∞[) »

O [

Remarque 5 Utiliser la définition pour prouver que lim

x→+∞f(x) = +∞ revient à chercher s’il existe des solutions dansIα à l’inéquationf(x)>Aet ceci pour n’importe lequel des nombresA que je choisis.

Exemple 28 f(x) =x² ^dénie^surI0= [0; +∞[⁽f(x)>0^don^hoix^deA>0⁾

A= 100 A= 10⁶ ^... A^quelonque^positif

EXERCICE 6 Prouver que lim

x→+∞

√x= +∞

DéfiÆnition

D é f i n i t i o n : On dit quef(x) tend vers−∞ lorsquex tend vers+∞, quand tout intervalle du type]−∞;B]contient toutes les valeurs def(x)pour xsuffisamment grand.

Cela se note lim

x→+∞f(x) =−∞

EXERCICE 7(a) Écrire deux définitions analogues traduisant lim

x→−∞f(x) = +∞et lim

x→−∞f(x) =

−∞

(b) Donner un exemple de fonction pour chacune des limites précédentes.

Fonctions de référence dont il faut retenir les limites

x→lim+∞x= +∞ lim

x→−∞x=−∞

x→lim+∞x² = +∞ lim

x→−∞x² = +∞

x→lim+∞xⁿ= +∞ (n∈N∗) lim

x→−∞x³ =−∞

x→lim+∞

√x= +∞ lim

x→−∞xⁿ=

+∞ sinest pair

−∞ sinest impair 2. ^LiÆmite ^fiÆnie ⁽ f(x)7−→ℓ⁾

DéfiÆnition

D é f i n i t i o n : On dit quef(x)tend versℓlorsquextend vers+∞, quand tout intervalle ouvert contenantℓ, contient toutes les valeurs def(x) pourx suffisamment grand.

Cela se note lim

x→+∞f(x) =ℓ

• Traduction rigoureuse :

« pour toutǫ >0, ilexisteun réelx_ǫ(qui dépend deǫ) tel que :

x∈I_αetx>x_ǫimplique que|f(x)−ℓ|< ǫ( ou encoref(x)∈]ℓ−ǫ;ℓ+ǫ[) »

O ℓ

+

α[

Remarque 6 Utiliser la définition pour prouver que lim

x→+∞f(x) =ℓrevient à chercher s’il existe un nombre à partir duquel tous les nombres plus grands sont solutions dansI_α de l’inéquation

|f(x)−ℓ|< ǫet ceci pour n’importe lequel des nombresǫque je choisis.

Exemple 29 f(x) = 1

x ^dénie^surI0=]0; +∞[

ǫ= 0,1 ǫ= 10⁻⁵ ^... ǫ^quelonque^positif

EXERCICE 8 Prouver que lim

x→+∞

3x−1 x+ 2 = 3

DéfiÆnition

On dit quef(x)tend versℓlorsquextend vers−∞, ...

On note ...

EXERCICE 9 Donner un exemple de fonction : une vérifiant lim

x→+∞h(x) = 1et l’autre lim

x→+∞g(x) =

−2

Fonctions de référence dont il faut retenir les limites graphique, la courbe def « se rapproche » de la droite d’équationy=ℓ.

x→lim+∞f(x) =ℓ Exemple 30 ^T^raduire graphiquementlalimitede l'exerie8.

I.2.2 Limite d’une fonction en un réela(x7−→a)

f est définie sur un ensemble (intervalle, réunion d’intervalles, ...) dontaest l’une des bornes.

1. ^LiÆmite ^iÆnfiÆnie ⁽ f(x)7−→ ∞⁾

DéfiÆnition

On dit quef(x) tend vers+∞lorsque xtend vers a, quand tout intervalle de la forme[A; +∞[contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche de a.

Cela se note lim

x→af(x) = +∞ Traduction approximative :

« Il existe des xproche deadont l’image dépasse n’importe lequel des nombres que je choisis » Exemple 31 ^Déterminer lim

x→0

1 x²

Faireunshémaillustrantlerésultat.

2. ^LiÆmite ^fiÆnie ⁽ f(x)7−→ℓ⁾

DéfiÆnition

On dit que f(x) tend vers ℓ lorsque x tend vers a, quand tout intervalle ouvert contenantℓ, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche de a.

Cela se note lim

x→af(x) =ℓ

Remarque 7 Dans certains cas, pourxproche dea,f(x)prend des valeurs positives très grandes et des valeurs négatives très petites suivant quexest inférieur ou supérieur àa,

doncf n’a pas de limite ena.

Exemple 32 f :x7−→ 3

x−2^.^Étude^en ^2.

x ^1.9 ^1.99 ^1.999 ^1.9999 ^1.99999 f(x)

x ^2.1 ^2.01 ^2.001 ^2.0001 ^2.00001 f(x)

3. AsÆym ptote vertiale

DéfiÆnition

Lorsque lim

x→af(x) = +∞ ou−∞, on dit que la droite∆ :x = aest asymptote verticale àC_fet cette définition se généralise aux limites à gauche ou à droite.

Illustrations :

xlim→af(x) = +∞

xlim→af(x) =−∞

xlim→a x>a

f(x) = +∞, lim

x→a x<a

f(x) =−∞

I.3 Opérations sur les limites

On considère deux fonctionsf etg, admettant des limites soit en−∞, soit en+∞, soit en un réela.

Limite d’une somme

lim f ℓ ℓ +∞ −∞ +∞

lim g ℓ^′ ±∞ +∞ −∞ −∞

lim(f+g) FI

Limite d’un produit

lim f ℓ ℓ6= 0 +∞ +∞ −∞ 0

lim g ℓ^′ ±∞ +∞ −∞ −∞ ±∞

lim(f ×g) FI

Limite d’un quotient

lim f ℓ ℓ +∞ −∞ ℓ6= 0 0 ±∞

lim g ℓ^′ 6= 0 ±∞ ℓ^′ 6= 0 ℓ^′ 6= 0 0 0 ±∞

lim(_g^f) ∞ FI FI

Attention, de nombreu ses situation s nées sitent lutili sation de la règle des signes de la

pliation ou de la diÆvi sion (e sont les mêmes!)

Exemple 33 ^Déterminer^la^limite^en³^de f :x7−→ 1−x (x−3)²

I.4 Limites en+∞et−∞d’une fonction polynôme

Propriété

Limite d’une fonction polynôme en±∞

En +∞ et en −∞ uniquement, la limite de la fonction polynôme définie sur R par :

x7−→anxⁿ+....+a1x+a0 (avecan6= 0) est celle de la fonctionx7−→a_nxⁿ.

On dit qu'à liÆnfiÆni uÆne fontion polynme a même liÆmite que son terÆme

de plu s haut degré.

Exemple 34 ^Étudier^la^limite^en +∞^de ^la^fontionx7−→1 + 2x−5x³

I.5 Limites en+∞et−∞d’une fonction rationnelle

Propriété

Limite d’une fonction rationelle en±∞

En +∞ et en −∞ uniquement, la limite de la fonction rationnelle définie sur R− {v.i}par :

x7−→ a_nxⁿ+....+a₁x+a₀

b_px^p+....+b₁x+b₀ (aveca_n6= 0etb_p6= 0) est celle de la fonctionx7−→ a_nxⁿ

bpx^p

On dit qu'à liÆnfiÆni uÆne fontion rationÆnelle a même liÆmite que le ra p port

des terÆmes de plu s haut degré.

Exemple 35 ^Étudier^la^limite^en +∞^de ^la^fontionx7−→ x³−x+ 1 8x²−1

I.6 Théorèmes de comparaison

Les résultats ci-dessous permettent, dans certains cas, de déterminer la limite lorsquextend vers a(afini ou infini) d’une fonction f, par comparaison à d’autres fonctions dont le comportement est connu.

Théorème

Théorème des gendarmes(Limite finie)

Si, pourxassez « proche » dea, on a l’encadrement u(x)6f(x)6v(x), etsiuetvont la même limiteℓena, alors lim

x→af(x) =ℓ traduction graphique poura= +∞

Exemple 36 ^:

∀x∈]0; 1]^, 2

x6f(x)6 3

x^.^Quelle^est^la^limite^def ^en+∞^?

Exemple 37 ^:

∀x∈]1; +∞[^, 2x

x−1 6f(x)6 2x+ 1

x−1 ^.^Quelle^est^la^limite^de f ^en+∞^?

Théorème

Théorèmes de comparaison(Limite infinie)

• Si, pourxassez « proche » dea, on a l’inégalité f(x)>u(x),

etsi lim

x→au(x) = +∞, alors lim

x→af(x) = +∞

• Si, pourxassez « proche » dea, on a l’inégalité f(x)6u(x),

etsi lim

x→au(x) =−∞, alors lim

x→af(x) =−∞

Exemple 38 ^Étudier^leomportementdef :x7−→x−2 sinx^en+∞^.

I.7 Limite d’une fonction composée Théorème

a, betℓsont chacun un réel ou l’un des symboles∞ou−∞. Si lim

x→af(x) =b et lim

y→bg(y) =ℓ alors lim

x→agof(x) =ℓ schéma de composition

a b L

x f

y g f(x)

g(y) =g(f(x))

Exemple 39 ^:

Étudierlalimiteéventuelleen +∞^de u:x7−→

r2 + 3x² 4x²−1^.

II Continuité d’une fonction sur un intervalle

Soitaun réel etf une fonction définie sur un intervalleI contenanta.aadmet une imagef(a).

Mise en route, le documentANNEXE 1 II.1 Continuité ena

DéfiÆnition

La fonctionf est continue enasi

xlim→af(x) =f(a)

La fonctionf est continue sur l’intervalleI sif est continue en tout réeladeI.

Sif n’est pas continue ena, on dit quef est discontinue ena.

Remarque 8 Compte-tenu de ce qui précède, une fonctionf est continue enasi elle admet une limite ena: ce sera obligatoirementf(a).

Exemple 40

O ~i

←− Êxemple ^de ^fontion ^non ôntinue ên

(disontinuitéen1)

f(x) =

x² pourx <1

−x²+ 3 pourx>1

La fontioninverseestontinue

sur]− ∞; 0[∪]0; +∞[^. −→

O ~i

Important

Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions trigo-nométriques,

les fonctions usuelles vues en seconde et en première, les composées de ces fonctions sont continues sur leur ensemble de définition.

EXERCICE 10 On considère la fonctionhdéfinie surRparf(x) =

x²−3x+ 5 pourx <0 k pourx>0

Pour quelle valeur dek, la fonctionf est-elle continue surR? II.2 Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Soit f une fonctioncontinuesur un intervalleI etaetbdeux réels deI. Pour tout réelk compris entref(a) etf(b) , il existe un réel ccompris entre aetb tel que : f(c) =k.

Interprétation graphique

O ~i

Nécessité de la continuité

O ~i

Exemple 41 Ênûtilisant^le ^théorème ^des^valeurs intermédiairessurun intervalleonvenablement hoisi,démontrerque l'équationx³−3x= 1âdmetâu^moinsûne^solution.

O ~i

...

II.3 Théorème de la bijection Théorème

Soit f une fonctioncontinueetstrictement monotonesur un intervalleIetaet bdeux réels deI. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), il existe ununique réelccompris entreaetbtel que :f(c) =k.

Remarque 9 : Dans un tableau de variation, la flêche indique la continuité et la stricte monotonie.

Ainsi le théorème de la bijection s’applique dans l’une des deux situations suivantes :

Exemple 42 ^Reprendre^l'exemple⁴⁰^et^dénombrer^le^nombre^de^solutions^surR.

II.4 Résolution d’équations

Une équation(E)étant donnée, on se ramène à une équation de la forme f(x) =k oùkest un réel (souventk= 0, sinon on peut s’y ramener) etf une fonction continue sur un intervalle à préciser (si ce n’est déjà fait).

Méthode

• Si la question consiste à justifier l’existence de solutions, on utilise éven-tuellement lethéorème des valeurs intermédiaires.

• Si la question fait allusion à l’existence d’uneunique solutionsur un inter-valle ou dunombre de solutionsde l’équation, on utilise lethéorème de la bijection.(calcul de dérivée et tableau de variation)

• Si l’on demande explicitement les valeurs approchées de solutions, on utilise la calculatrice ou un ordinateur : tableau de valeurs et balayage ou algorithme (par exemple dichotomie).

Exemple 43 ^Donner^la^valeurârrondieâuêntième^des^solutions^de^l'équation^de^l'exemple^40.

III Dérivabilité d’une fonction sur intervalle

Soitf une fonction définie sur un intervalleI, etaun réel deI.

III.1 Rappel : dérivabilité et nombre dérivé 1. ^D^éfiÆnition

DéfiÆnition

On dit quef est dérivable enalorsque le taux d’accroissement defenaadmet une limiteLena, c’est à dire lorsque :

Le taux d’accroissement f(x)−f(a)

x−a est la pente de la droite∆passant par les pointsA(a;f(a))etM(x;f(x)).

Lorsquextend versa, le pointM se « rapproche » deAet la droite ∆devient la tangente à la courbe de la fonction enA.

2. ^É^quation ^de ^la ^taÆn^gente

Propriété

f est une fonction dérivable en a. L’équation de la tangente à C_f au point d’abscisseaest :

y=f^′(a)(x−a) +f(a) 3. ^Fôntion ⁿôn ^dériÆvable ên ûÆn ^réel a

Il ne s’agit pas de tenir un discours trop théorique sur la dérivabilité. A partir de deux exemples comprendre ce que peut être une fonction non dérivable en un réela.

• On définit la fonctionf sur]0; +∞[de la façon suivante :f(x) = ( 1

x pour 0< x <1

−x²+ 2x pourx>1

O ~i

La fonction f est-elle dérivable en 1 ? Est-elle dérivable sur ]0; +∞[?

• Prouver que la fonctionx7−→√

xn’est pas dérivable en 0 (Elle est donc continue sur[0; +∞[et dérivable sur]0; +∞[)

4. ^DériÆvabilité et ontiÆnuité Propriété

Si une fonction f est dérivablesur un intervalleI alors elle est continue sur cet intervalle.

III.2 Calculs de dérivées 1. ^F^ontion ^dériÆvée

DéfiÆnition

Lorsqu’une fonction est dérivable en tout nombre d’un intervalleI, nous pou-vons définir la fonction dérivée :

f^′ :x7−→f^′(x)surI

Avec la notation différentielle (Sciences physiques, Enseignement supérieur, ...),f^′se note encore df

2. ^D^ériÆvées ^des ^{fontion s} ^{u suelles}

Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleI.

La fonction f :x 7−→ p

u(x)est dérivable sur tout intervalleJ inclus dansI tel que, pour toutxdeJ,u(x)>0.

On a, pour toutx∈J, f^′(x) = u^′(x) 2p

u(x) Exemple 44 Dérivabilitéde x7−→√

x²−3^sur^un^intervalleJ ^à^déterminer^...

4. ^D^ériÆvée ^de ^la ^fontion x7−→[u(x)]ⁿ^,n∈Z∗

Théorème (uⁿ)^′

Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleI.

La fonctionf :x7−→[u(x)]ⁿ(n∈Z∗) est dérivable :

• surI, sin >0;

• sur tout intervalleJ inclus dansI tel que, pour toutxdeJ,u(x) 6= 0, si n <0.

On a, pour toutxde l’ensemble de dérivabilité def, f^′(x) =n×u^′(x)×[u(x)]ⁿ⁻¹

Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, aet b sont deux nombres réels.

La fonctiong:x7−→f(ax+b)est dérivable sur tout intervalleJ tel que, pour toutxdeJ,ax+b∈I.

On a, pour toutx∈J, g^′(x) =a×f^′(ax+b)

Exemple 46 Dérivabilitéde g:x7−→cos(2x−1)^...

6. ^D^ériÆvée ^d'uÆne ^fontion ^{om posée} ^: ^{a s} ^général

Schéma de composition def =v o u

x∈I y ∈J v o u(x)∈R

x u

y v u(x)

v(y) =v(u(x))

T H É O R È M E :

• udéfinie et dérivable surI et à valeurs dans J

(u(x)∈J) ;

• vdérivable surJ

La fonctionf =vouest dérivable surI et : pour toutx∈I, f^′(x) =u^′(x)×v^′(u(x))

7. ^D^ériÆvées ^et ^opér^{ation s}

Opération Fonction Dérivée

Multiplication par un scalaire ku ku^′

Addition u+v u^′+v^′

Multiplication uv u^′v+uv^′

Inverse 1

u −u^′

u²

Quotient u

u^′v−uv^′ v² Composition v o u u^′×(v^′o u)

III.3 Dérivées et variations 1. Variations d’une fonction (rappels)

Propriété

Soitf une fonction dérivable sur un intevalleI :

• Si la dérivéef^′est nulle surI, alorsf est constante sur I ;

• Sif^′est strictement positive surI, sauf peut-être en des points isolés où elle s’annule, alorsf est strictement croissante surI;

• Si f^′ est strictement négative surI, sauf peut-être en des points isolés où elle s’annule, alorsf est strictement décroissante surI;

2. f dérivable sur un intervalle ouvertI etx₀un réel deI.

Si en x₀ la dérivée f^′ s’annule en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x₀ (minimum ou maximum).

Remarque 10 Même si un énoncé ne le précise pas, étudier le sens de variation d’une fonc-tion sur un intervalle imposepresquetoujours le calcul et la recherche du signe de sa déri-vée sur l’intervalle considéré

IV Cosinus et sinus : point de vue fonctionnel

IV.1 Définitions

Soitx∈R. On définit deux fonctions,

cos :R−→R x 7−→cos(x)

• De cos(−x) = cos(x), il résulte que deux nombres^opposésont la même image.

D’un point de vue graphique la courbe re-présentative de la fonction cosinus Ccos est

symétriquepar rapport à l’axe des^ordonnées .

• •

•Decos(x+ 2kπ) = cos(x), il résulte que deux nombres « distants » d’un multiple de 2π ont la même image.

sin:R−→R x 7−→sin(x)

•Desin(−x) =−sin(x), il résulte que deux nombres

opposésont des images opposées.

D’un point de vue graphique la courbe représen-tative de la fonction sinusCsin est ^symétrique par rapport à^l'origine O ^du ^repère.

• •

• De sin(x + 2kπ) = sin(x), il résulte que deux nombres « distants » d’un multiple de 2π ont la même image.

D’un point de vue graphique les courbes représentatives des fonctions cosinusCcoset sinusCsinsont composées d’un « motif » qui se répète : on dit que les fonctions cosinus et sinus sontpériodiques de période2π.

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables surRet,

∀x∈R, (cos)^′(x) =−sin(x) et (sin)^′(x) = cos(x)

Quelques forÆmules

• ∀x∈R, cos²(x) + sin²(x) = 1;

• ∀(x, y)∈R², cos(x+y) = cos(x) cos(y)−sin(x) sin(y);

• ∀(x, y)∈R², cos(x−y) = cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y);

• ∀(x, y)∈R², sin(x+y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y);

• ∀(x, y)∈R², sin(x−y) = sin(x) cos(y)−cos(x) sin(y);

• en particulier,∀x∈R, sin(2x) = 2 sin(x) cos(x);

• et,∀x∈R, cos(2x) = cos²(x)−sin²(x) = 2 cos²(x)−1 = 1−2 sin²(x);

• il y en a plein d’autres :-)

IV.2 Variations des fonctions cosinus et sinus

IV.4 Exemple d’étude de fonction trigonométrique On considère la fonction h:R−→R

x 7−→cos(2x) sin(x)−1 1. Étudier les variations dehsur

0;^π₂ . 2. Pour toutxréel, calculerh ^π₂ +x

−h ^π₂ −x

. Que peut-on en déduire pour la courbe deh?.

3. Pour toutxréel, calculer 1

2[h(π−x) +h(π+x)]. Que peut-on en déduire pour la courbe deh?.

4. Calculer, pour toutxréel,h(x+ 2π). En déduire le tracé deCh.

• • •

V ANNEXE 1 pour l’idée de continuité

1. f est-elle une fonction ?

2. Combien vautf(0),f(2),f(4)?

3. Construire la courbe de la fonction f dans le repère ci-contre.

4. Par simple lecture graphique, donner lim

x→2

Quelle conclusion peut-on en tirer ?

V.1.2 Un raccordement

2. Construire la courbe de la fonction f dans le repère ci-contre.

3. Par simple lecture graphique, donner lim

x→−3

Quelle conclusion peut-on en tirer ?

V.1.3 Avec un trou

On considère la fonctionf définie surR− {2}par :f(x) = x²−3x+ 2 x−2 1. f admet-elle une image en 2 ?

2. Émettre une conjecture sur la limite def en 2. La démontrer.

3. Conclusion.

3. En utilisant la définition d’une limite finie en 1, prouver quef n’a pas de limite en 1.

V.2 Continuité en a

On peut lire dans le programme de Terminale S qu’une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont on peut tracer la courbe « sans lever le crayon » .

A la lumière de ce que nous venons de voir, peut-on donner une définition rigoureuse de la continuité

Dans le document Limites de suites (Page 14-48)