Limites de suites

Limites de suites ^{T ale S}

I - R´ evisions

Exercice 1 Soit (u n ) une suite d´efinie pour tout n ∈ IN par u _n = n ² + n − 1.

1. Exprimer en fonction de n : a) u _n −1 b) u _n +1 c) u _n +1 − u _n 2. La suite ( u _n ) est-elle arithm´etique ?

3. Quel est le sens de variation de ( u _n ) ?

Exercice 2 Dans chaque cas pr´eciser si la suite (u n ) est arithm´etique, g´eom´etrique, ou ni l’un ni l’autre. Exprimer alors, lorsque cela est possible, u _n en fonction de n.

a. Pour tout n ∈ IN, u _n = n ² .

b. u 0 = 2 et pour tout entier naturel n, u _n +1 = u _n − 5.

c. Pour tout n ∈ IN, u _n = 2 n ² + 5 n + 3 n + 1 . d. Pour tout n ∈ IN ^∗ , u _n = 3 ^{2 n +1}

2 n .

e. u 0 = 3 et pour tout entier naturel n, u _n +1 = − 2

3 u _n + 4.

Exercice 3 ^{Soit (u} n ) la suite d´efinie pour tout entier naturel n non nul par u _n = n + 1 n ² + 1 . 1. D´eterminer la fonction f telle que u _n = f (n).

2. Etudier le sens de variation de f et en d´eduire celui de (u n ).

3. Calculer u 10 , u 100 , u 10 000 , u 10

et u 10

.

Que peut-on dire des valeurs de u _n lorsque n devient de plus en plus grand ?

Exercice 4 Mˆeme exercice avec les suites ( u _n ) d´efinies pour tout entier naturel n par 1) u _n = n ² − 1

n ² + 1 . 2) u _n = 3n ² + 4n − 5. 3) u _n = − n ³ + 6n ² − 9n + 5.

Exercice 5 Soit la suite ( u _n ) d´efinie par u 0 = 1 et pour tout entier n , u _n+1 = 1 u _n + 1.

D´eterminer la fonction f telle que u _n+1 = f ( u _n ), puis tracer C ^f et placer u 0 , u 1 , u 2 , u 3 et u 4 sur l’axe des abscisses.

Exercice 6 ^(u n ) est la suite d´efinie par u 0 = 3 et, pour tout entier n, u _n +1 = 3u n

3 + 2 u _n . Pour tout entier n, on pose v _n = 3

u _n .

1. D´emontrer que ( v _n ) est une suite arithm´etique.

2. En d´eduire une expression de v _n , puis de u _n en fonction n .

Exercice 7 ^(u n ) est la suite d´efinie par u 0 = 1 et, pour tout entier n, u _n +1 = 2

3 u _n − 1 6 . Pour tout entier n , on pose v _n = 2 u _n + 1.

1. D´emontrer que (v n ) est une suite g´eom´etrique.

2. En d´eduire une expression de v _n , puis de u _n en fonction n.

II - Principe de r´ ecurrence

Exemple : On consid`ere la suite (u n ) d´efinie pour par u 0 = 2, puis pour tout entier n, u _n +1 = √

u _n + 5.

Montrer que, pour tout entier n , u _n > 0.

Il y a ici une infinit´ e de relation alg´ebrique, il s’agit de montrer la relation u _n > 0 pour tout n > 0, c’est-`a-dire pour n = 0, n = 1, n = 2, . . ., n = 10, n = 112, . . .

Pour d´emontrer cette infinit´e de relation, on peut d´ej`a commencer par le v´ erifier au d´ebut, pour les premiers termes :

– pour n = 0, u 0 = 2, et donc la propri´et´e est bien vraie, u 0 > 0.

– pour n = 1, u 1 = √

u 0 + 5 = √

2 + 5 = √

7 > 0, et la propri´et´e est toute aussi vraie – pour n = 2, u 2 = √

u 1 + 5 > 0, car u 1 > − 5 – . . .

Pour traiter le probl`eme d’une mani`ere plus g´en´erale, on peut remarquer que, tant que que le terme u _n > − 5, alors le terme suivant u _n+1 est bien d´efini, et ´etant une racine carr´ee, il est positif ou nul.

Or, ´etant positif ou nul, il est aussi sup´erieur `a − 5, donc son successeur est bien d´efini, et donc positif, donc son successeur . . .

Cette propri´et´e est une propri´et´e d’h´ er´ edit´ e :

Si on suppose qu’`a un rang n, on a u _n > 0, alors, au rang suivant, on a u _n +1 = √

u _n + 5 >

√ 0 + 5 = √ 5 > 0.

En d’autres termes, si la propri´et´e est vraie `a un rang n, elle est aussi vraie au rang n + 1 suivant.

Or, nous avons vu que cette propri´et´e est vraie initialement au rang n = 0 (car u 0 = 2 > 0), et donc, d’apr`es cette h´er´edit´e, elle est aussi vraie au rang n + 1 = 1, puis aussi au suivant, n + 1 = 2, puis au suivant, puis . . ., puis . . .

On a ainsi d´emontr´e que la relation u _n > 0 est vraie `a tous les rangs n . Ce raisonnement s’appelle un raisonnement par r´ ecurrence.

Principe du raisonnement par r´ ecurrence Soit P (n) une proposition qui d´epend d’un entier naturel n . Pour d´emontrer que P ( n ) est vraie pour tout entier n ≥ n 0 , il suffit de :

1. Initialisation : v´erifier que pour le premier entier n 0 , P (n 0 ) est vraie ;

2. H´ er´ edit´ e de la propri´ et´ e : montrer que, si on suppose que P (n) est vraie pour un certain entier n (hypoth` ese de r´ ecurrence), alors P (n + 1) est encore vraie.

3. Conclusion : On conclut alors que, d’apr`es le principe de r´ecurrence, la propri´et´e P (n) est vraie pour tout entier n > n 0 .

Exercice 8 Soit la suite (u n ) d´efinie par u 0 = 2 et, pour tout entier n, u _n +1 = √

u _n + 5.

Montrer que, pour tout entier n, 0 ≤ u _n ≤ 3.

Exercice 9 Montrer que, pour tout n ≥ 10, 2 ⁿ ≥ 100 n .

Exercice 10 Soit la suite v d´efinie par v 0 = 2, puis pour tout entier n, v _n +1 = 1 + 1 v _n . Montrer que pour tout entier naturel n, 3

2 ≤ v _n ≤ 2.

Exercice 11 Somme des premiers entiers, de leurs carr´ es, de leurs cubes.

a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 1 + 2 + 3 + · · · + n = n ( n + 1)

2 .

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b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 1 ² + 2 ² + 3 ² + · · · + n ² = n(n + 1)(2n + 1)

6 .

c) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n , 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + · · · + n ³ = n ² ( n + 1) ²

4 .

Exercice 12 Soit n un entier naturel non nul, et S _n la somme S _n =

n

X

p=1

1 p(p + 1) .

1. Ecrire un algorithme permettant de calculer S _n o` u n est un entier naturel choisi par l’utilisateur.

2. Montrer par r´ecurrence que pour tout entier n ≥ 1, S _n = n n + 1 3. a) Verifier que 1

p ( p + 1) = 1 p − 1

p + 1

b) Retrouver alors le r´esultat du 1. par une autre m´ethode.

Exercice 13 Soit a un r´eel strictement positif. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel n, (1 + a) ⁿ ≥ 1 + na.

Exercice 14 ^{Soit u} la suite d´efinie par u 0 = 3, et pour tout entier n par u _n +1 = 2(u n − 1).

Calculer les premiers termes de cette suite, et conjecturer une expression de u _n . D´emontrer alors cette conjecture.

Exercice 15 Soit la suite u d´efinie par u 0 = 5 et, pour tout entier n, u _n +1 = √

3u n + 1.

D´emontrer que cette suite est monotone.

III - Limite d’une suite

1) D´ efinition et exemples

D´ efinition La suite num´erique (u n ) converge vers le r´eel l si et seulement si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes u _n `a partir d’un certain rang.

On note : lim

n →+∞ u _n = l ou encore lim u _n = l.

Remarque : Cette condition : ”tout intervalle ouvert” est tr`es forte car elle permet, entre autre, que l’intervalle puisse ˆetre arbitrairement petit.

Exemple : Soit la suite (u n ) d´efinie pour n > 1 par u _n = 1 n + 1.

n u _n

×

1

×

2

×

3

×

4

×

5

×

6

×

7

l = 1 Intervalle ouvert

contenant l

Soit par exemple l’intervalle ouvert I =]0, 99 ; 1, 01[ contenant l = 1. Alors, u _n ∈ I ⇐⇒ 0 , 99 < u _n < 1 , 01 ⇐⇒ 0 , 99 < 1

n +1 < 1 , 01 ⇐⇒ − 0 , 01 < 1

n < 0 , 01 ⇐⇒ n > 1

0, 01 = 100 Ainsi, d`es que n > 100, tous les termes u _n sont dans l’intervalle ouvert I =]0, 99 ; 1, 01[.

On note lim

n →+∞ u _n = 1.

D´ efinition • On dit que la suite ( u _n ) tend vers + ∞ lorsque tout intervalle ouvert de la forme ]A; + ∞ [, avec A ∈ IR, contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang.

• On dit que la suite (u n ) tend vers −∞ lorsque tout intervalle ouvert de la forme ] − ∞ ; A [, avec A ∈ IR, contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang.

2) Limites usuelles

Propri´ et´ e lim

n →+∞

√ n = + ∞ ; lim

n →+∞ n = + ∞ ; lim

n →+∞ n ² = + ∞ ; lim

n →+∞ n ³ = + ∞ et plus g´en´eralement, pour tout entier p non nul lim

n →+∞ n ^p = 0.

D´emonstration: Par exemple pour la suite (u n ) d´efinie sur IN par u _n = n ² .

Soit I un intervalle ouvert quelconque de la forme I =] A ; + ∞ [, avec A un r´eel strictement positif.

u _n ∈ I =]A; + ∞ [ ⇐⇒ n ² > A ⇐⇒ n > √

A (car A > 0).

Soit n 0 un entier tel que n 0 > √

A, alors, pour tout entier n > n 0 , on a u _n ∈ I, et donc

n →+∞ lim u _n = + ∞ .

Propri´ et´ e

n →+∞ lim

√ 1

n = 0 ; lim

n →+∞

1

n = 0 ; lim

n →+∞

1

n ² = 0 ; lim

n →+∞

1 n ³ = 0 et plus g´en´eralement, pour tout entier p non nul lim

n →+∞

1 n ^p = 0.

D´emonstration: Par exemple pour la suite u _n = 1

√ n .

Soit I un intervalle ouvert quelconque de la forme ] − ε; +ε[, avec ε > 0.

u _n ∈ I ⇐⇒ − ε < 1

√ n < ε ⇐⇒ 0 < 1

√ n < ε ⇐⇒ √ n > 1

ε ⇐⇒ n > 1 ε ² . Soit n 0 un entier tel que n 0 > 1

ε ² , alors, pour tout entier n > n 0 , u _n ∈ I , et donc la suite ( u _n ) converge vers 0 : lim

n →+∞ u _n = 0.

3) Op´ erations sur les limites

(u n ) et (v n ) sont deux suites, et L et L ^′ sont deux r´eels.

Le point d’interrogation correspond `a une forme ind´etermin´ee, c’est-`a-dire un cas o` u on ne peut pas conclure directement.

Th´ eor` eme Limite de la somme u _n + v _n

n →+∞ lim u _n = L L L + ∞ −∞ + ∞

n →+∞ lim v _n = L ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

n →+∞ lim u _n + v _n = L + L ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ ? Exemple : Soit ( u _n ) la suite d´efinie sur IN ^∗ par u _n = 3 + 2 n − 1

n ³ . On a :

• lim

n →+∞ 3 = 3

• lim

n →+∞ 2n = + ∞

• lim

n →+∞

1 n ³ = 0



 

 

 

 

Par addition des limites

n →+∞ lim u _n = + ∞

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Th´ eor` eme Limite du produit u _n × v _n

n →+∞ lim u _n = L L 6 = 0 + ∞ ou −∞ 0

n →+∞ lim v _n = L ^′ + ∞ ou −∞ + ∞ ou −∞ + ∞ ou −∞

n →+∞ lim u _n × v _n = L × L ^′

+ ∞ ou −∞

(r`egle des signes du produit)

+ ∞ ou −∞

(r`egle des signes du produit)

?

Exemple : Soit (u n ) la suite d´efinie sur IN ^∗ par u _n =

2 + 1 n

(1 + n ² ).

Par sommes, lim

n →+∞

2 + 1

n

= 2, et lim

n →+∞ 1 + n ²

= + ∞ , puis par limite du produit, lim

n →+∞ u _n =+ ∞ . Th´ eor` eme Limite de l’inverse 1

u _n

n →+∞ lim u _n = L 6 = 0 0 par valeurs positives 0 par valeurs n´egatives + ∞ ou −∞

n →+∞ lim 1

u _n = 1

L + ∞ −∞ 0

Soit (u n ) la suite d´efinie sur IN ^∗ par u _n = 1 n ² + √

n . Par limite de somme, lim

n →+∞ n ² + √

n = + ∞ , et donc, lim

n →+∞ u _n = 0.

Th´ eor` eme Limite du quotient u _n v _n

n →+∞ lim u _n = L L + ∞ ou −∞ L 6 = 0 ou + ∞ ou −∞ 0 + ∞ ou −∞

n →+∞ lim v _n = L ^′ 6 = 0 + ∞ ou −∞ L ^′ 6 = 0 0 0 + ∞ ou −∞

n →+∞ lim u _n × v _n = L

L ^′ 0 + ∞ ou −∞

+ ∞ ou −∞

(r`egle des signes du produit)

? ?

M´ ethode en cas de forme ind´ etermin´ ee : On essaie dans ce cas de lever l’ind´etermination en transformant l’expression (factorisation, d´eveloppement, . . .)

Par exemple, soit la suite (u n ) d´efinie sur IN par u _n = n ² − 2n + 4.

On a : lim

n →+∞ n ² = + ∞ , et lim

n →+∞ − 2 n = −∞ , donc on a une forme ind´etermin´ee pour la limite de la somme.

N´eanmoins, u _n = n ²

1 − 2n n ² + 4

n ²

= n ²

1 − 2 n + 4

n ²

, avec lim

n →+∞ n ² = + ∞ , et lim

n →+∞

1 − 2

n + 4 n ²

= 1, d’o` u, par produit des limites lim

n →+∞ u _n = + ∞ .

Remarque : n ² est le terme dominant en + ∞ dans l’expression de u _n . C’est lui qui impose son comportement en + ∞ , ce qui apparaˆıt clairement quand on le factorise.

Exercice 16 Dans chacun des cas suivants, d´eterminer la limite de la suite (u n ) : a) u _n = n ³ + 1

n b) u _n = (3n + 1)( − 7n + 5) c) u _n = 3 − 4

n 2 n ²

d) u _n = n ³ − n ² + 3n − 1

e) u _n = 2n ² + 1

− n ² + 6 f) u _n = n ² + 3n − 5

n ³ − 6 n ² + 1 g) u _n = n √

n − n h) u _n = ( − 2n + 3) n + 3

− n ² + n + 6 i) u _n = n

n + √

n j) u _n = 9 − n ²

( n + 1)(2 n + 1) k) u _n = 1

3 − n

(2 n + 1) ² l) u _n = 2

3 n − 2n ² + 3

3 n ² + n + 1

4) Autres th´ eor` emes de convergence

a) Th´ eor` emes de comparaison

Th´ eor` eme Th´eor`eme des gendarmes pour les suites Soit (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites telles que,

pour tout entier n , v _n ≤ u _n ≤ w _n . Si de plus lim

n →+∞ v _n = lim

n →+∞ w _n = l, alors lim

n →+∞ u _n = l.

Corollaire Soit (u n ) et (v n ) deux suites telles que, pour tout entier n, u _n ≥ v _n .

• Si lim

n →+∞ v _n = + ∞ , alors lim

n →+∞ u _n = + ∞ .

• Si lim

n →+∞ u _n = −∞ , alors lim

n →+∞ v _n = −∞ .

Exercice 17 ^{D’apr` es BAC}

(u n ) est une suite d´efinie par u 0 = 1 et, pour tout entier naturel n, u _n +1 = u _n + 2n + 3.

a. Etudier le sens de variation de (u n ).

b. D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier n, u _n = (n + 1) ² . c. En d´eduire que, pour tout entier n , u _n > n ² .

d. La suite (u n ) est-elle minor´ee ? major´ee ? Justifier.

e. Donner la limite de (u n ).

b) Suites minor´ ees, major´ ees et born´ ees D´ efinition Une suite (u n ) est dite :

• minor´ ee lorsque qu’il existe un r´eel m tel que, pour tout entier n, u _n > m.

• major´ ee lorsque qu’il existe un r´eel M tel que, pour tout entier n , u _n 6 M .

• born´ ee lorsqu’elle est `a la fois minor´ee et major´e´e, c’est-`a-dire lorsqu’il existe deux r´eels m et M tels que, pour tout entier n, m 6 u _n 6 M .

Ex : Soit (u n ) la suite d´efinie par u _n = sin(n) + n.

Alors, pour tout entier n , comme sin( n ) > − 1, u _n = sin( n ) + n > − 1 + n > − 1 + 0 = − 1.

Ainsi, cette suite (u n ) est minor´ee par m = − 1.

De plus, pour tout entier n , u _n = sin( n ) + n > − 1 + n , ce qui montre que la suite ( u _n ) n’est pas major´ee, et donc n’est pas born´ee non plus.

Remarque : Tout nombre inf´erieur `a m est aussi un minorant.

En effet, pour tout entier n on a aussi par exemple, n, u _n > − 10 > − 210 > . . . Ex : • (u n ) d´efinie pour n ≥ 1 par u _n = 3 sin

1 n

+ 2, alors (u n ) est born´ee : ∀ n ≥ 1 , − 1 ≤ u _n ≤ 5.

• ( v _n ) d´efinie par v _n = 3

2 + n est born´ee, car, ∀ n ≥ 0 , 0 ≤ v _n ≤ 3 2 Th´ eor` eme Toute suite monotone et born´ee est convergente :

• Toute suite croissante et major´ee est convergente.

• Toute suite d´ecroissante et minor´ee est convergente.

Remarque : Ce th´eor`eme permet de montrer qu’une suite converge, mais ne fournit aucun moyen pour d´eterminer cette limite.

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Exercice 18 Soit la suite u d´efinie par u 0 = 5 et u _n +1 = √

3 u _n + 1 1. Montrer que (u n ) est d´ecroissante.

2. Montrer que la suite ( u _n ) est minor´ee.

3. En d´eduire que la suite (u n ) est convergente.

c) Point fixe

Th´ eor` eme Point fixe

Soit une suite (u n ) d´efinie par une relation de r´ecurrence du type u _n +1 = f (u n ).

Si la suite ( u _n ) converge vers un r´eel l , alors, la limite l v´erifie la relation f ( l ) = l . l s’appelle un point fixe pour la fonction f .

Exercice 19 Soit la suite (u n ) d´efinie par u 0 = 0 et u _n +1 = √

u _n + 5.

1. Montrer que cette suite est croissante.

2. Montrer que pour tout entier n, 0 ≤ u _n ≤ 3. En d´eduire que la suite (u n ) est convergente.

3. D´eterminer la limite l de la suite ( u _n ).

Exercice 20 On consid`ere la fonction f d´efinie sur IR par f (x) = 3

2 x, et la suite (u n ) d´efinie par u 0 = 3, puis pour tout entier n, u _n +1 = f (u n ).

1. Appliquer le th´eor`eme du point fixe `a la suite ( u _n ).

2. Calculer u 0 , u 1 et u 2 et conjecturer l’expression de u _n en fonction de n.

D´emontrer cette conjecture. Quelle est la nature de la suite ( u _n ) ? Quelle est sa limite ?

Exercice 21 Soit la suite u d´efinie par u 0 = 2 et, pour tout entier n, par u _n +1 = 4 − 3 u _n . 1. a) Dans un rep`ere orthonormal (unit´e graphique 4cm), tracer la droite ∆ d’´equation y = x et

la courbe C ^f repr´esentant la fonction f d´efinie sur ]0; + ∞ [ par l’expression f (x) = 4 − 3 x . b) Placer sur l’axe des abscisses, et sans effectuer aucun calcul, les termes u 0 , u 1 , u 2 et u 3 . c) Quelle conjecture peut-on faire sur la suite u.

2. a) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout n ∈ IN, 2 ≤ u _n ≤ 3.

b) D´emontrer que la suite u est croissante, et en d´eduire qu’elle converge.

c) D´eterminer alors la limite de la suite u .

5) Suites arithm´ etiques et g´ eom´ etriques

Propri´ et´ e Soit ( u _n ) une suite arithm´etique de premier terme u 0 et de raison r . Alors pour tout entier n, u _n = u 0 + nr et

• si r > 0, alors lim

n →+∞ u _n = + ∞

• si r < 0, alors lim

n →+∞ u _n = −∞

Exercice 22 (u n ) est la suite d´efinie par u 0 = 3 et, pour tout entier n, u _n +1 = 3u n

3 + 2u n

. Pour tout entier n, on pose v _n = 3

u _n .

1. D´emontrer que ( v _n ) est une suite arithm´etique.

2. D´eterminer la limite de la suite ( u _n ).

Exercice 23

1. Soit a un r´eel strictement positif.

D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier n, (1 + a) ⁿ > 1 + na.

2. Soit (v n ) une suite g´eom´etrique de premier terme v 0 > 0 et de raison q > 1.

Montrer que lim

n →+∞ v _n = + ∞ . Th´ eor` eme Soit q un r´eel, alors

• Si − 1 < q < 1, alors la suite ( q ⁿ ) converge vers 0 : lim

n →+∞ q ⁿ = 0.

• Si q > 1, alors la suite (q ⁿ ) diverge vers + ∞ : lim

n →+∞ q ⁿ = + ∞ .

• Si q 6 − 1, alors la suite (q ⁿ ) n’a pas de limite

• Si q = 1, alors la suite ( q ⁿ ) est constante, q ⁿ = 1 pour tout entier n , et donc aussi,

n →+∞ lim q ⁿ = 1.

D´emonstration: Soit q > 1, alors a = q − 1 > 0, et on a d´emontr´e `a l’exercice 20 que, pour tout entier n, q ⁿ = (1 + a) ⁿ > 1 + na.

Or, comme a > 0, lim

n →+∞ 1 + na = + ∞ , et alors, d’apr`es le corolaire du th´eor`eme des gendarmes, on a lim

n →+∞ q ⁿ = + ∞ .

Exercice 24 On consid`ere la suite ( u _n ) d´efinie par u 0 = 2 et, pour tout entier n , u _n+1 = 1 4 u _n + 6 et la suite (v n ) d´efinie sur IN par v _n = u _n − 8.

1. D´emontrer que la suite ( v _n ) est g´eom´etrique.

2. En d´eduire l’expression de v _n , puis de u _n en fonction de n . 3. D´eterminer les limites des suites ( v _n ) et ( u _n ).

Exercice 25 Soit la suite u d´efinie par u 0 = 2 et, pour tout entier n , u _n +1 = 5u n − 1 u _n + 3 . 1 ^{` ere} m´ ethode a) v´erifier que pour tout n ∈ IN, u _n +1 = 5 − 16

u _n + 3 . b) Montrer que, pour tout n ∈ IN, u _n ∈ [1; 2].

c) Etablir la relation u _n+1 − u _n = − ( u _n − 1) ²

u _n + 3 , et en d´eduire le sens de variation de u . d) D´emontrer que u converge et d´eterminer sa limite l .

2 <sup>` eme</sup> m´ ethode On consid`ere la suite v d´efinie pour tout n ∈ IN par v _n = 1 u _n − 1 . a) Prouver que v est une suite arithm´etique de raison 1

4 . b) Exprimer pour tout n, v _n puis u _n en fontion de n.

c) En d´eduire la convergence de u et sa limite.

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