Étudier la série de terme général u n =  n1 n3  n

Colles PC : Semaine 3 du 27/09/10 au 01/10/10 Étudier la série de terme général u _n =  n! ^a

n ^{n ,} n ∈ ℕ et a ∈ ℝ .

Montrer que la série de terme général u _n =ln  ^{n  n1 n 2 2}  est convergente et calculer sa somme.

Étudier la série de terme général u _n =  ^{n1 n3}  ⁿ

Étude de la série de terme général u _{n =}  ^{3 n 3 an –}  ^{n 2 3 , a ∈ ℝ}

Soit u _n =  ^{4 n 4 3n 2 −}  ³ P n . Trouver tous les polynômes P de ℝ[ X ] tels que la série de terme général u _{n converge.}

Soit u _n = 6 ⁿ

3 ^n1 – 2 ^n1 3 ⁿ – 2 ⁿ  . Prouver que ∑ ^u n converge.

Prolongement : En posant x=  ² 3  ^{n , écrire u n = f  n  – f  n 1 où f} est une fonction numérique. En déduire ∑

n1

u _n .

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Colles PC : Semaine 3 du 27/09/10 au 01/10/10 Éléments de correction

Série à termes positifs : utiliser la règle de d'Alembert u _{n 1} u _n Ce qui donne : u _n1

u _n =n1 ^{a –1} 1 1 n 

–n

pour n1 ; comme  ^1 n ¹  ^–n est équivalent à 1

e ^en ∞ , on obtient : u _n1

u _n ~ 1

e  n1 ^{a – 1} D'où la discussion : a 1 , u _n1

u _n ^ ∞ , la série est divergente.

a 1 , u _n1

u _n ^ 0 < 1, la série est convergente.

a =1 , u _n1 u _n ^{ 1}

e 1 la série converge.

En résumé, la série est convergente si et seulement si a 1 . _____________

Comme  n 1  ²

n n2  1 , la série est à termes positifs.

De plus, u _n =ln  ^{n 2} n ^{2n1 2} 2 n  ^=ln  ^1 n ² 2 ¹ n  ^{et ln}  ^1 n ² 2 ¹ n  ^~ n ² 2n ¹ ~ 1 n ^{2 .} Ainsi ∑ ^u n est de même nature que la série de Riemann de terme général 1

n ² qui converge donc

∑ ^u n converge. On peut donc calculer sa somme :

Soit S _n = ∑

k=1 n

u _k = ∑

k=1 n

ln k1 ²

k k2 =ln [ ∏

k=1

n k1 ²

k k2 ] = ... = ln  ^{2  n n2 1 }  ^{et n∞ lim S n =ln 2}

_____________

• a0 , lim

n∞ n ^a =0 _et lim

n∞ u _n =1 donc la série est divergente. (Le terme général ne tend pas vers 0 !!!)

• a=0 implique également lim

n∞ u _n =1 donc la série est également divergente.

• _a0 : ln  ⁿ n ^1 3  ^=ln  ^{1 1} n  ^{– ln}  ^{1  3} n  ^{= – 2} n o  ¹ n  ^{et u n =e n}

^{lnn1/ n3 =e –2n}

^on

^

– si a1 , lim

n∞ u _n =1 , divergence.

– si a=1 , lim

n∞ u _n = e ⁻² , divergence.

– si a1 , lim

n∞

n ² u _n =0 donc convergence.

_________________

On obtient rapidement : u _n = 1 n  ^a 3 – 3

2  ^O  n ^{1 3} 

Si a≠ 9

2 ^, u _n ~  ^a 3 – 3

2  n ¹ et d'après la règle des équivalents ∑ ^u n diverge.

Si a= 9

2 ^, u _n =O  n ^{1 3}  ^{et ∑ u n} converge d'après la comparaison à une série de Riemann.

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Colles PC : Semaine 3 du 27/09/10 au 01/10/10

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Comme ⁴  ^{n 4 3n 2 ~n} , pour que u _{n } 0, il faut que  ³ P n ~n d'où la forme de P : P  x =x ³ ax ² bx c .

• ⁴  ^{n 4 3n 2 =n} ₄ ³ _n ^o  n ^{1 2} 

•  ³ P n=n  a

3   ^b 3 – a ²

9  ^{1 n O}  n ^{1 2}  (partir de  ^{3 P n =n}  ^{1 a n  n b 2 O  n 1 3 }  ^{1/3 )}

On obtient donc : u _n = – a

3   ³ 4 – b 3  a ²

9  ^{n 1  O}  n ^{1 2} 

Il faut donc que a=0 pour que la série converge ; d'où u _n =  ³ 4 – b

3  n ¹ O  n ^{1 2}  . la série converge seulement si b= 9

4 ( puisque u _n =O  n ^{1 2}  ). Les polynômes cherchés sont de la forme P  x =x ³  9 4 xc _________________

Lorsque n tend vers ∞ , on a 2 ⁿ =o 3 ⁿ  donc u _n ~ 6 ⁿ

3×3 ^{2 n et} u _n ~ 1

3  ² 3  ^{n et}  ² 3  ⁿ est le terme général d'une série convergente donc ∑ ^u n converge.

En posant x=  ² 3  ⁿ , on prouve que : u _n = 1

1 – x – 1 1 – 2

3 x ^d'où

u _n = 1 1 –  ² 3  ^{n –}

1

1 –  ² 3  ^{n1 et ainsi}

∑ k=1 n

u _k = f 1 – f  n 1 puis ∑

n1

u _n =2 .

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