Exercice 1 (Nature de série) Déterminer la nature de la série de terme général u

Exercices sur les séries numériques

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Exercice 1 (Nature de série) Déterminer la nature de la série de terme général u

: 1. u

=

2. u

=

3. u

= ln(1 +

) − 2 ln n

4. u

= n

e

5. u

= 1 +

6. u

=

7. u

= sin 2

8. u

= ln(1 +

) −

9. u

= sin n 10. u

= sin(

) −

11. u

= e

12. u

=

13. u

=

14. u

= ln(cos

) 15. u

=

16. u

=

17. u

=

18. u

=

19. u

=

20. u

=

21. u

= ch

Exercice 2 (Série des inverses de coefficients binomiaux) Déterminer la nature de la série de terme général u

= (

) avec p ∈ N fixé et n > p.

Exercice 3 (Calculs de sommes) Établir la convergence et déterminer la somme des séries de terme général u

:

1. u

=

(n > 2) 2. u

= 2

3. u

=

4. u

=

Exercice 4 (Calculs de sommes) Établir la convergence et déterminer la somme de la série de terme général u

:

u

= arctan 1 n

+ n + 1

. On pourra montrer que arctan

= arctan

− arctan

.

Quelques séries classiques

Exercice 5 (Série exponentielle) Démontrer à l’aide d’une formule de Taylor que :

∀ x ∈ R , e

=

+∞

X

n=0

x

n! .

Exercice 6 (Séries géométriques dérivées) Soit x ∈ [0, 1[.

1. Démontrer que la série ^P nx

est convergente et déterminer sa somme.

2. Démontrer que la série ^P n

x

est convergente et déterminer sa somme.

3. Démontrer que la série ^P

est convergente et déterminer sa somme.

Exercice 7 (Séries de Bertrand) Soit α et β des réels. On souhaite déterminer en fonction de α et β la nature de la série numérique

X

n>2

1 n

(ln n)

.

On note f la fonction définie sur [2+, ∞ [ par f(t) = 1 t

(ln t)

. 1. Le cas α > 1

Dans cette question uniquement, on suppose que α > 1.

(a) Déterminer un réel γ > 1 tel que

n→

lim

n

f (n) = 0.

(b) En déduire la nature de la série ^X

n>2

f (n) pour α > 1.

2. Le cas α < 1

Dans cette question uniquement, on suppose que α < 1.

(a) Montrer qu’il existe un entier naturel n

tel que pour tout entier n > n

, on a f (n) > 1

n . (b) En déduire la nature de la série ^X

n>2

f (n) pour α < 1.

3. Le cas α = 1 et β 6 0

Démontrer que dans ce cas, la série diverge 4. Le cas α = 1 et β = 1

Dans cette question uniquement, on suppose que α = β = 1.

(a) Calculer et déterminer la limite lorsque x tend vers + ∞ de I(x) = ^Z

2

f(t) dt.

(b) Déterminer la monotonie de f sur [2, + ∞ [, en déduire à l’aide d’une comparaison série intégrale la nature de la série ^X

n>2

f(n) pour α = 1.

5. Le cas α = 1 et β > 0 et β 6 = 1

Donner la nature de la série à l’aide d’une comparaison série intégrale.

Exercice 8 (Helene de Deux)

1. Démontrer à l’aide d’un encadrement, que

n→

lim

Z

t

1 + t dt = 0.

2. Démontrer que pour tout réel x dans ] − 1, + ∞ [ et pour tout n ∈ N

, on a ln(1 + x) = x − x

2 + · · · + ( − 1)

x

n + ( − 1)

^Z

0

t

1 + t dt.

On pourra partir de

n−1

X

k=0

( − t)

puis intégrer.

3. En déduire que la série ^P

converge, et donner sa somme.

Comparaison série intégrale

Exercice 9 (Équivalent des restes ou sommes partielles des séries de Riemann) On utilisera des comparaisons «série intégrale».

1. Démontrer que

n

X

k=1

1 k

∼

→+∞

ln n.

2. Soit α < 1. Démontrer que

n

X

k=1

1 k

∼

→+∞

n

1 − α . 3. Soit α > 1. Démontrer que

+∞

X

k=n+1

1 k

∼

→+∞

1 (α − 1)n

.

Exercice 10 (Comparaison série-intégrale) Démontrer à l’aide d’une comparaison série intégrale que

ln n!

∼

→+∞

n ln n.

En déduire selon le réel a, la nature de la série de terme général

.

D’autres règles de convergence au programme de SPE

Exercice 11 (Critère de D’Alembert) Soit u une suite de termes strictement positifs telle que la suite

n

n>0

converge vers un certain réel l ∈ [0, 1[.

1. Démontrer qu’il existe un réel q ∈ [0, 1[ et un entier n

tel que : ∀ n > n

, u

6 qu

.

2. En déduire que ∀ n > n

, u

6 q

u

. 3. En déduire que la série ^X

n>0

u

converge.

4. Application : déterminer la nature de la série de terme général u

: u

= n!

n

, u

= (n!)

(2n)! . 5. Démontrer que si

n

tend vers l > 1, alors la série ^P u

diverge.

6. Démontrer à l’aide de deux exemples, que si

n

tend vers 1, on ne peut rien conclure.

Exercice 12 (Critère pour des séries alternées) Soit (a

)

une suite décroissante qui tend vers 0. On pose S

=

n

X

k=0

( − 1)

a

.

1. Démontrer que les suites (S

) et (S

) sont adjacentes, en déduire la nature de la série

X

n>0

( − 1)

a

.

2. En déduire que les séries de terme général

et ( − 1)

sin

sont convergentes.

Exercice 13 (Application : un contre-exemple) On pose u

=

. 1. Déterminer la nature de ^P u

.

2. Justifier que ln(1 + u

) =

−

+ o(

), en déduire la nature de ^P ln(1 + u

).

3. Justifier que u

∼ ln(1 + u

) et commenter l’exercice.

Divers

Exercice 14 On suppose que la série ^P n

u

converge. Démontrer que la série ^P u

converge.

Exercice 15 Soit ^P u

et ^P v

deux séries à termes positifs convergentes. Démontrer que la série ^P √ u

v

converge.

Exercice 16 Soit ^P u

une série à termes positifs convergente. Démontrer la convergence des séries de termes généraux :

u

et u

1 + u

.

Exercice 17 (Un défi ) Soit σ une bijection de N

sur N

. Déterminer la nature de la série

P

n>1 1 σ(n)n

Exercice 18 (Théorème de point fixe de Picard) Soit A une partie fermée

de R et f : A → A une fonction k-lipschitzienne avec k ∈ [0, 1[. Le but de l’exercice est de démontrer que f admet un unique point fixe dans A. On note u la suite récurrente définie par u

= f (u

) et de premier terme u

.

1. Démontrer que la série de terme général u

− u

converge absolument.

2. En déduire que la suite u converge vers un point fixe a de f . 3. Démontrer que a est l’unique point fixe de f dans A.

4. Démontrer à l’aide de la fonction racine carrée sur ]1, + ∞ [ que le théorème de Picard est faux si A n’est pas supposé fermé.

Exercice 19 (Formule de Stirling) On veut établir la formule de Stirling : n!

∼

→+∞

Kn

e

√ 2πn où K est un réel à déterminer.

Pour n ∈ N

, on pose u

= n!

n

e

√ 2πn .

1. Démontrer que pour n au voisinage de + ∞ , ln u

u

∼ − 1 12n

. 2. En déduire que la suite (ln u

)

est convergente.

3. En déduire avec soin qu’il existe un réel L tel que pour n au voisinage de + ∞ , on ait n! ∼ n

e

√

2πn e

.

On note W

l’intégrale de Wallis d’indice n. On a déjà prouvé dans des problèmes précédents que

W

= (2n)!

(2

n!)

π

2 et W

∼

→+∞

r π 2n .

4. En utilisant la formule explicite de W

et la question précédente, écrire à l’aide de e

un équivalent de W

.

5. Déterminer enfin la valeur de e

en utilisant l’équivalent de W

. 6. En déduire que :

2n n

!

∼ 4

√ n × 1

√ π .

1. Une partie A de R est dite fermée, si toute suite convergente de points de A converge dans A . Les intervalles

fermés sont par exemple des parties fermées de R .