Déterminer la nature des séries de terme général u n suivants.

Exercices : Séries Numériques

Exercice 1 (cours)

Il faut connaître parfaitement la nature des séries de terme général u _n suivants : 1) u n = 1

n ^α selon les valeurs de α ∈ R 2) u n = q ⁿ selon les valeurs de q ∈ C . Exercice 2

Déterminer la nature des séries de terme général u _n suivants.

1) u n = 2 ⁿ + 11

3 ⁿ + 5 , 2) u n = n

n + 1 n

, 3) u n = n ² Arctan 1 n ³

, 4) u n = (−1) ⁿ n ³ , 5) u _n = (−1) ⁿ e ⁻

√ n , 6) u _n = (n + 1) ⁴

n! + 1 , 7) u _n = 1

n ^α (ln n) ^β avec (α, β) ∈ R ² , α 6= 1 Exercice 3

Soit f , une fonction positive, décroissante et continue sur [1, +∞[. On note :

∀n ∈ N ^∗ F (n) =

n

X

k=1

f (k) − Z n

1

f (t)dt

1) Montrer que la suite (F (n)) n∈ N

est décroissante. En déduire que la suite (F (n)) n∈ N

converge.

2) Application : pour tout n ∈ N ^∗ , on pose v n =

n

X

k=1

1

k − ln(n). Montrer que la suite (v n ) _{n∈ N}

converge.

En déduire un développement asymptotique de la série harmonique

n

X

k=1

1 k .

Remarque. La limite de la suite (v _n ) _{n∈ N}

est la constante d’Euler γ ≈ 0,57721566.

Exercice 4 (Séries alternées)

Dans cet exercice, on montre qu’il existe des séries convergentes qui ne sont pas absolument convergente, i.e. telles que lim

n→+∞

n

X

k=0

u _k existe et ∈ R mais lim

n→+∞

n

X

k=0

|u _k | ∈ / R . Soit (a n ) ∈ R ^N et u n = (−1) ⁿ a n pour tout n ∈ N . Posons U n =

n

X

k=0

u k . On suppose de plus que

∀n ∈ N , a _n > 0 , (a _n ) est décroissante et lim

n→+∞ a _n = 0

1) Montrer que (U 2n ) et (U 2n+1 ) sont des suites adjacentes. Conclure quant à la nature de la série de terme général u _n .

2) Trouver un exemple de série convergente mais non absolument convergente.

Exercice 5

1) Soit (u _n ) ∈ R ^N . Montrer que si la série de terme général u _n est convergente et u _n > 0, alors la série de terme général u ² _n est convergente.

2) Ce résultat demeure-t-il vrai si les réels u _n ne sont plus supposés positifs ? Indication : On pourra rechercher un contre-exemple sous la forme d’une série alternée.

3) On suppose que u n > −1 et que les séries de terme général u n et u ² _n convergent. Étudier la série de terme général ln(1 + u _n ).

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