II. Méthodes pour déterminer la nature d’une série

CH XVII : Séries réelles

I. Les séries à termes réels

I.1. Introduction de l’objet série Définition

Soit (un)n∈N une suite de réels.

• On appellesérie de terme généralunet on noteP

unla suite(Sn)n∈N

dont le terme général S_n est défini par : S_n= Pn k=0

u_k.

• La suite(Sn)est appeléesuite des sommes partiellesassociée à la série P u_n. Son terme général S_n est appelé somme partielle d’ordre n associée à la sérieP

un.

• On peut aussi considérer des séries dont l’indice initial n’est pas 0.

Si m ∈ N, on notera P

n>m

u_n pour désigner la série définie par la suite (Tn)_n>m de terme généralTn=

n

P

k=m

uk. Exemple

• On s’intéresse à la série P 1.

Sa somme partielle d’ordre nest :Sn=

n

P

k=0

1 =n+ 1.

• On s’intéresse à la série P n.

Sa somme partielle d’ordre nest :S_n=

n

P

k=0

k= n(n+ 1)

2 .

• On s’intéresse à la série P n².

Sa somme partielle d’ordren est :S_n=

n

P

k=0

k²= n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

• On s’intéresse à la série P qⁿ.

Sa somme partielle d’ordren est :Sn=

n

P

k=0

q^k.

× siq = 1: Sn=

n

P

k=0

q^k =

n

P

k=0

1 =n+ 1.

× siq 6= 1: Sn=

n

P

k=0

q^k = 1−qⁿ⁺¹ 1−q . I.2. Nature d’une série

I.2.a) Définition Définition

Soit (u_n)n∈N une suite de réels.

On considère la sérieP un.

La suite de ses sommes partielles(S_n) est définie par : S_n=

n

P

k=0

u_k.

• On dit que la série P

u_n est convergente si la suite de ses sommes partielles (Sn)n∈N est convergente.

• On dit que la sérieP

u_nestdivergentesi la suite de ses sommes partielles (S_n)n∈Nest divergente.

• LorsqueP

un converge, la limite de la suite(Sn)n∈N est appeléesomme de la série et est (souvent) notéeS. On a alors :

S =

+∞

P

k=0

u_k = lim

n→+∞S_n = lim

n→+∞

_n P

k=0

u_k

• Déterminer lanature d’une série, c’est déterminer si elle est convergente ou divergente.

 Il ne faut pas confondre les notations :

• P

un qui désigne la série de terme général un,

• S_n=

n

P

k=0

u_k qui est la somme partielle d’ordre nde cette série,

• S =

+∞

P

k=0

u_k qui désigne, SI LA SÉRIE EST CONVERGENTE, la somme de cette série (limite finie (∈R) de la suite(S_n)).

+ On n’écrira

+∞

P

k=0

u_k qu’APRÈS avoir prouvé la convergence deP u_n. Exemple

• La série P

1est divergente.

Sn=

n

P

k=0

1 =n+ 1 −→

n→+∞+∞.

• La série P

nest divergente.

Sn=

n

P

k=0

k= n(n+ 1)

2 −→

n→+∞+∞.

• La série P

qⁿest convergenteSSI −1< q <1.

× siq = 1 : S_n=

n

P

k=0

q^k=

n

P

k=0

1 =n+ 1 −→

n→+∞+∞.

La série P

u_nest donc divergente.

× siq 6= 1 : S_n=

n

P

k=0

q^k= 1−qⁿ⁺¹ 1−q . Si−1< q <1,qⁿ⁺¹ −→

n→+∞0 etSn −→

n→+∞

1 1−q. La série P

qⁿ est donc convergente de somme

+∞

P

k=0

q^k= 1 1−q.

I.2.b) Un lien de convergence entre suites et séries Théorème 1.

Soit (u_n)n∈N une suite de réels.

(un) converge ⇔ P

(un+1−un) converge Démonstration.

Notons (v_n)n∈N la suite de terme général : v_n=u_n+1−u_n. Par définition, la sérieP

vnest convergente si sa suite des sommes partielles (Sn) est convergente. Or :

S_n =

n

P

k=0

v_k =

n

P

k=0

(u_k+1−u_k) = u_n+1−u₀

• Si(Sn) converge, alors(un+1) converge et donc(un) converge.

• Réciproquement, si(un)converge, il en est de même de(un+1)(sous-suite de (un)) et donc de (Sn).

Exemple

Ce théorème est une application de la propriété de télescopage. Cette pro- priété est fréquente dans les exercices même si elle apparaît parfois cachée.

Considérons par exemple la série P

n>1

ln

1 + 1 n

. Son terme général vérifie : v_n = ln

1 + 1

n

= ln

n+ 1 n

= ln(n+ 1)−lnn Ainsi, sa somme partielle d’ordrenest :

Sn =

n

P

k=1

v_k =

n

P

k=1

(ln(k+ 1)−lnk) = ln(n+ 1)−ln(1) −→

n→+∞ +∞

et donc la série P

n>1

ln

1 + 1 n

est divergente.

I.3. Lien entre u_n et S_n

L’objet u_n, terme général de la série P

u_n et les quantités S_n, sommes partielles d’ordre n, sont liés par les relations suivantes :

• ∀n>0, Sn=u0+u1+· · ·+un et u0 =S0

• ∀n>1, u_n=S_n−Sn−1

Remarque

• Cette dernière égalité fait apparaître un comme un taux d’accroissement : u_n = S_n−Sn−1 = S_n−Sn−1

n−(n−1)

La quantité un est donc la vitesse d’accroissement (potentiellement néga- tive) entre les instants n−1 etnde la suite (S_n).

• Ce taux d’accroissement du monde discret est à comparer avec le taux d’ac- croissement du monde continu rencontré dans le chapitre « Dérivation » :

f(x0+h)−f(x0) h

dont la limite quand h→0 définit la quantité f⁰(x₀) (vitesse instantanée au temps x0 sif définit un déplacement en fonction du temps).

• Par analogie avec le monde continu, la quantitéun peut donc être pensée comme la « dérivée discrète » de S_n. La quantité S_napparaît alors comme la « primitive discrète » de u_n.

• On pourra garder en tête cette analogie entre le symboleP

qui définit une sommation dans le monde discret et le symboleR

qui définit une sommation dans le monde continu. En conséquence, les propriétés et techniques de ce chapitre seront souvent analogues à celles présentées dans le chapitre

« Intégration ».

II. Méthodes pour déterminer la nature d’une série

Étudier la nature d’une série P

un c’est étudier la nature de la suite de ses sommes partielles(S_n).

Il est fortement recommandé d’être au point sur les chapitres

« Suites », « Convergence de suites » et « Calculs de sommes ».

II.1. Calcul direct des sommes partielles Pour déterminer la nature d’une série P

un, on peut, dans certains cas, directement expliciterS_n somme partielle d’ordren associée àP

u_n. À l’aide de cette technique, on a déjà démontré que :

× P

1,P n,P

n²,P

n³ sont des séries divergentes.

× P

qⁿ est une série divergente si|q|>1 et convergente si|q|<1.

Remarque

• Cette technique est l’analogue, dans le monde discret, de la technique dite des primitives à vue du chapitre « Intégration ».

• Il existe aussi un théorème de sommation par parties, technique analogue à celle de l’intégration par parties. Ce résultat n’est pas présenté ici car n’a que peu d’intérêt pour la résolution d’exercices.

• L’analogue du principe de changement de variable est le décalage d’indice.

SiS_n= Pn k=0

u_k, en posantj=k+m, on obtientS_n=

n+mP

j=m

uj−m.

II.2. Une condition NÉCESSAIRE de convergence Théorème 2.

Soit (un) une suite de réels.

P u_n converge ⇒ u_n −→

n→+∞0

Pour qu’une série converge, il faut que son terme général tende vers 0.

Démonstration.

Supposons que la série P

un converge. Ainsi, la suite (Sn) est convergente vers un réel S∈R. Or, pour toutn>1, on a :

un = Sn−Sn−1

Comme Sn −→

n→+∞S etSn−1 −→

n→+∞S, on obtient : un −→

n→+∞0.

 Cette condition est nécessaire mais pas suffisante. Autrement dit, on peut trouver une suite (u_n) telle que :

un −→

n→+∞0 ⇒ P

un converge

+ ln

1 +1 n

n→+∞−→ 0 mais la sérieP ln

1 + 1

n

n’est pas convergente.

Théorème 3.

Soit (u_n) une suite de réels.

un 6−→

n→+∞0 ⇒ P

un diverge

Pour qu’une série diverge, il suffitque son tg ne tende pas vers 0.

Démonstration.

C’est la contraposée de l’énoncé précédent.

Définition

Soit (un)une suite de réels.

• On dit que la série P

u_n est grossièrement divergente si son terme généralunest tel que : un 6−→

n→+∞0.

Remarque

• Le théorème précédent stipule que si une série est grossièrement divergente alors elle est divergente.

• Les sériesP 1,P

n,P n²,P

n³etP

qⁿavec|q|>1sont grossièrement divergentes.

• Cet énoncé permet d’établir une première méthodologie d’étude des séries.

MÉTHODO : déterminer la nature d’une sérieP u_n. 1) Siun 6−→

n→+∞0 alors la sérieP

un est grossièrement divergente.

Elle est donc divergente.

2) Siu_n −→

n→+∞0, on ne peut conclure par cet argument ! La série P

un peut être divergente ou convergente.

III. Propriétés des séries convergentes

III.1. Découpage d’une série convergente Théorème 4.

On considère une série P u_n. 1) Alors on a :

P un converge ⇒ ∀m∈N, P

n>m

un converge 2) En cas de convergence on a de plus :

∀m>1,

+∞

P

k=0

uk =

m−1

P

k=0

uk +

+∞

P

k=m

uk

Démonstration.

Soitm∈N^∗. Pour tout n>m, on a :

n

P

k=0

u_k =

m−1

P

k=0

u_k +

n

P

k=m

u_k et :

n

P

k=m

u_k =

n

P

k=0

u_k −

m−1

P

k=0

u_k

( ( (

T_n S_n ∈R

La suite (S_n) étant convergente, il en est de même de (T_n). L’égalité entre les sommes des séries est obtenue par passage à la limite (quand n→ +∞) dans l’égalité précédente.

Remarque

• Ce théorème signifie que la convergence d’une série P

u_n ne dépend pas des premiers termes de cette série.

• Par contre, le calcul de la somme dépend de l’indice de départ.

• C’est l’analogue de la relation de Chasles sur les intégrales impropres . . .

III.2. Linéarité Théorème 5.

Soient P

u_n etP

v_n deux séries.

Soit (λ, µ)∈R².

1)

• P

un converge

• P

vn converge

⇒ P

(λun+µvn) converge

On a alors :

+∞

P

k=0

(λu_k+µv_k) = λ

+∞

P

k=0

u_k + µ

+∞

P

k=0

v_k

2)

• P

u_n converge

• P

v_n diverge

• µ6= 0







⇒ P

(λu_n+µv_n) diverge

3) Si P

u_n diverge et P

v_n diverge :

× la série P

(λu_n+µv_n) peut être divergente.

× la série P

(λun+µvn) peut être convergente.

(à voir au cas par cas) Démonstration.

Soitn∈N.

On a l’égalité suivante sur les sommes finies :

n

P

k=0

(λuk+µvk) = λ

n

P

k=0

uk + µ

n

P

k=0

vk

        

Vn Sn Tn

1) Si(S_n)et(T_n) convergent, il en est alors de même pour(V_n)par somme de suites convergentes. L’égalité entre sommes des séries est obtenue par passage à la limite (n→+∞) dans l’égalité précédente.

2) D’après l’égalité précédente, on a : Tn = 1

µVn−λ µSn. Supposons par l’absurde que P

u_n converge ((S_n) converge), P v_n di- verge ((Tn) diverge), et queP

(λun+µvn) converge ((Vn) converge).

D’après l’égalité précédente, T_n apparaît comme somme de V_n et S_n, termes généraux de deux suites convergentes.

On en déduit que (Tn) est convergente ce qui est exclu par hypothèse.

3) Prenons λ=µ= 1. Illustrons cet énoncé par deux exemples.

1) Si on choisit :

× u_n=n (P

u_n diverge)

× v_n=n (P

v_n diverge) Alorsun+vn= 2n et la sérieP

2nest une série divergente.

2) Si on choisit :

× un=n (P

un diverge)

× v_n=−n (P

v_n diverge) Alorsu_n+v_n= 0 et la sérieP

0est une série convergente.

À retenir.

• La somme de deux séries convergente est convergente.

• La somme de deux séries divergentes peut-être convergente ou divergente.

• On ne change pas la nature d’une série en multipliant son terme général par un réel λ6= 0.

• À l’aide de ce théorème, on a le résultat suivant : P u_n converge ⇒ P −u_n converge ⇒ P

u_n converge Autrement dit : P

un converge ⇔ P

−u_n converge.

(on en reparlera . . . )

IV. Séries usuelles

IV.1. Séries géométriques et ses dérivées Théorème 6.

Soit q∈R.

1) P

qⁿ converge ⇔ |q| < 1

2) P

n>1

n qⁿ⁻¹ converge ⇔ |q| < 1

3) P

n>2

n(n−1)qⁿ⁻² converge ⇔ |q| < 1

De plus, si|q|<1, on obtient les sommes suivantes.

a.

+∞

P

k=0

q^k = 1

1−q ^b.

+∞

P

k=1

k q^k−1 = 1 (1−q)²

c.

+∞

P

k=2

k(k−1)q^k−2 = 2 (1−q)³ Démonstration.

1) Siq= 1, on aS_n=

n

P

k=0

1^k=n+ 1 −→

n→+∞+∞.

Siq6= 1,S_n=

n

P

k=0

q^k = 1−qⁿ⁺¹ 1−q = 1

1−q − qⁿ⁺¹ 1−q.

× Si|q|<1, on aqⁿ⁺¹ −→

n→+∞0, donc(S_n)converge et :

+∞

P

k=0

q^k = 1 1−q.

× Siq>1, on aqⁿ⁺¹ −→

n→+∞+∞, doncSn −→

n→+∞+∞.

× Siq6−1, la suite(qⁿ⁺¹) n’admet pas de limite, donc (S_n) diverge.

On considère la fonction f_n:x7→ Pⁿ

k=0

x^k. C’est une fonction polynomiale et elle est donc C^∞ sur R. D’autre part, pour tout x 6= 1, cette fonction peut s’écrire sous la forme :

f_n(x) = 1−xⁿ⁺¹ 1−x 2) Six6= 1, on a : f_n⁰(x) =

n

P

k=1

k x^k−1.

De par l’autre expression de fn, on a aussi : f_n⁰(x) = −(n+ 1)xⁿ(1−x) + (1−xⁿ⁺¹)

(1−x)² = −(n+ 1)xⁿ+n xⁿ⁺¹+ 1 (1−x)²

De plus, si|x|<1, on a(n+ 1)xⁿ −→

n→+∞0 etn xⁿ⁺¹ −→

n→+∞0et la série P n xⁿ⁻¹ est donc convergente (x fixé).

Au final, pour toutq tel que |q|<1, on a : f_n⁰(q) =

n

P

k=0

k q^k−1 −→

n→+∞

+∞

P

k=0

k q^k−1 = 1 (1−q)² 3) Soit x6= 1. On raisonne de même. La dérivée def_n⁰ peut s’écrire :

f_n⁰⁰(x) = −(n+ 1)n xⁿ⁻¹+ 2(n+ 1)(n−1)xⁿ+n(1−n) xⁿ⁺¹+ 2 (1−x)³

Pour tout q tel que |q|<1, on a : f_n⁰⁰(q) =

n

P

k=2

k(k−1)q^k−2 −→

n→+∞

+∞

P

k=2

k(k−1)q^k−2 = 2 (1−q)³ Remarque

• Les séries de la forme P

qⁿ sont appelées séries géométriques.

• Les séries de la forme P

n>1

n qⁿ⁻¹ et P

n>1

n(n−1)qⁿ⁻² sont appelées séries géométriques dérivées.

• Les formules précédentes de sommes restent valables avec une initialisation à n= 0 puisque les termes ajoutés sont nuls.

• On aurait pu calculer la dérivée 3^ème,4^ème . . .

Application

Dans les exercices, il faudra savoir reconnaître les séries géométriques et géométriques dérivées et savoir calculer leur somme.

1) Montrer que P n

3²ⁿ⁺¹ est convergente et calculer sa somme.

Pour n∈N, on note : u_n= n 3²ⁿ⁺¹ =n

1 3

2n+1

= 1 3 n

1 3

2!n

. On a donc :S_n = 1

3

n

P

k=0

k 1

9 k

= 1 27

n

P

k=0

k 1

9 k−1

C’est la somme partielle d’une série géométrique dérivée de raison 1 9 <1.

Ainsi :S_n −→

n→+∞

1 27

1

1−¹₉2 = 1 3×9

9² 8² = 3

64. 2) Montrer que P n²

2ⁿ est convergente et calculer sa somme.

Pour n∈N, on note : un=n² 1

2 n

.

En écrivant :n²=n(n−1) +n, on obtient : u_n = n(n−1)

1 2

n

+n 1

2 n

= 1

4 n(n−1) 1

2 n−2

+1 2 n

1 2

n−1

On a donc :Sn = 1 4

n

P

k=0

k(k−1) 1

2 k−2

+ 1 2

n

P

k=0

k 1

2 k−1

.

On reconnaît la somme partielle d’une série géométrique dérivée et la somme partielle d’une série géométrique dérivée seconde toute deux de raison 1

2 <1.

Ainsi :S_n −→

n→+∞

1 4

2

1−¹₂3 + 1 2

1

1−¹₂2 = 2⁴ 4 + 2²

2 = 4 + 2 = 6

IV.2. Séries de Riemann Théorème 7.

Soit α∈R. On a alors : P 1

n^α converge ⇔ α > 1 Démonstration.

• Siα61

× Cas α= 1 : la série P

n>1

1

n est divergente.

× Cas α <1 : pour toutn>1, on a :0 6 1 n 6 1

n^α. Or, la série P

n>1

1

n diverge.

Donc, par le critère de comparaison, la série P

n>1

1

n^α diverge.

• Siα >1

On considère la fonction f :x7→ 1 x^α. Comme α>0,f est décroissante.

x f(k)

k−1 k f(k)

Pour tout k>2, on a : f(k) 6 Z k

k−1

f(t) dt.

On en déduit que, pour toutn>2:

n

P

k=2

f(k) 6

n

P

k=2

Z k k−1

f(t) dt

q q

S_n−1

Z n 1

f(t) dt

Ainsi : Sn 6 1 +

Z n 1

1

t^α dt = 1 +

t^−α+1

−α+ 1 ⁿ

1

= 1 + 1 α−1

1− 1 n^α−1

On en déduit que : S_n 6 1 + 1 α−1. La suite (Sn) est :

× croissante puisque P

n>1

1

n^α est une série à termes positifs.

× majorée par 1 + 1 α−1.

Elle est donc convergente. Ce qui signifie que la série P

n>1

1

n^α est conver- gente.

Remarque

• Il faut savoir reconnaître ce type de séries dans les exercices. Par exemple :

× les séries P

n>1

1 n³, P

n>1

1 n², P

n>1

1 n√

n sont convergentes.

× les séries P

n>1

1 n, P

n>1

√1

n sont divergentes.

IV.3. Série exponentielle Théorème 8.

Pour tout x∈R, la série P xⁿ

n! converge et : e^x =

+∞

P

k=0

x^k k!

Ainsi :

n

P

k=0

x^k k! −→

n→+∞ e^x Démonstration.

Admis.

Un mot sur ce type d’objets (CULTURE)

• L’écriture

+∞

P

k=0

a_kx^k peut être vue comme une généralisation de la notion de polynômes : c’est un polynôme de degré∞.

• On appelle cet objet une série entière et on dit alors que la fonction ex- ponentielle est développable en série entière (DSE). Toutes les fonctions ne sont pas développables en séries entières. L’intérêt de ce type de dévelop- pement est la relative simplicité de l’objet

+∞

P

k=0

a_kx^ket notamment son bon comportement vis à vis de certaines opérations telles que la dérivation.

• Ce type d’objet n’est au programme ni en première ni en deuxième année.

Remarque

Comme précisé, nous n’étudierons pas les outils pour montrer la convergence de la série exponentielle. Cependant nous pouvons quand même vérifier que cette série n’est pas grossièrement divergente :

Pour toutx∈R, u_n = xⁿ n! −→

n→+∞0

(on peut notamment le montrer à l’aide du critère de d’Alembert)

Application

Dans les exercices, il faudra savoir reconnaître la série exponentielle et cal- culer la somme associée.

• Montrer que P n+ 7

2ⁿ n! est convergente est calculer sa somme.

Pour n∈N, on note : un= n+ 7

2ⁿ n! = n(¹₂)ⁿ

n! + 7 (¹₂)ⁿ n! . On a donc : Sn =

n

P

k=0

k (¹₂)^k k! + 7

n

P

k=0

(¹₂)^k k! .

× Tout d’abord, remarquons que :

n

P

k=0

k (¹₂)^k k! =

n

P

k=1

k (¹₂)^k k! = 1

2

n

P

k=1

(¹₂)^k−1 (k−1)!

= 1 2

n−1

P

k=0

(¹₂)^k k! −→

n→+∞

1 2 e¹²

× D’autre part, on a : 7

n

P

k=0

(¹₂)^k k! −→

n→+∞7 e¹² On en conclut que : Sn −→

n→+∞

15

2 e¹² = 15 2

√e.

V. Séries à termes positifs

V.1. Les résultats fondamentaux Théorème 9.

Soit P

u_n une série et (S_n)n∈N suite des sommes partielles associée.

(∀n∈N^∗, un>0) ⇔ (Sn) est croissante Démonstration.

(⇒) Supposons :∀n∈N^∗, un>0.

Soit n∈N. On a S_n+1−S_n=u_n+1 >0. Ainsi, (S_n) est croissante.

(⇐) Supposons(S_n) croissante.

Soit n∈N^∗. On a un=Sn−Sn−1>0.

Remarque

• Ce résultat est à comparer à celui du chapitre précédent qui énonce : f >0 ⇒ F :x7→

Z x a

f(t) dt est croissante

• On a aussi démontré dans le chapitre « Intégrales impropres » : Z +∞

a

f(t) dt converge ⇔ F est majorée Le résultat analogue s’énonce comme suit.

Théorème 10.

Soit P

u_n une série à termes positifs : ∀n∈N, u_n>0.

1) P

u_n converge ⇔ (S_n) est majorée.

2) (S_n) non majorée ⇒ S_n −→

n→+∞+∞.

Démonstration.

C’est une conséquence du théorème de convergence monotone ! La suite (S_n) est croissante.

× Si elle est de plus majorée, elle est convergente.

Réciproquement, si (Sn) converge, elle est majorée.

× Si elle est non majorée, elle tend vers+∞.

V.2. Critère de comparaison des séries à termes positifs Théorème 11.

Soient P

un etP

vn deux séries à termes positifs.

Supposons : ∀n∈N, 06un6vn

Alors 1) P

vn converge ⇒ P

un converge 2) P

un diverge ⇒ P

vn diverge Démonstration.

Soitn∈N. Comme : ∀k∈N, 06uk6vk, on en déduit :

• Sn=

n

P

k=0

u_k 6

n

P

k=0

v_k=Tn,

• (Sn)et(Tn)sont croissantes puisqueP

unetP

vnsont à termes positifs.

1) SiP

v_n converge, alors(T_n)est majorée.

Il existe doncM ∈Rtel que : ∀n∈N, Tn 6 M. Ainsi :

∀n∈N, S_n 6 T_n 6 M

ce qui signifie que(Sn) est majorée parM. De plus,(Sn) est croissante.

Elle est donc convergente. On en conclut queP

u_n converge.

2) SiP

un diverge, la suite croissante(Sn) est non majorée.

On en déduit que : S_n −→

n→+∞+∞. Or : ∀n∈N, T_n 6 S_n. On en déduit que : Tn −→

n→+∞+∞.

Remarque

• La conclusion reste valable avec l’hypothèse moins stricte suivante :

∀n>m, 06un6vn

(la convergence d’une série, comme on le verra par la suite, ne dépend pas de ses premiers termes)

• Ce résultat est analogue à la Proposition 1 du chapitre « Intégrales im- propres » portant sur les fonctions continues et positives.

• Ce théorème est important. Il signifie que pour déterminer la nature d’une série à termes positifs, il suffit de la comparer à des séries de référence (dont on connaît la nature).

Application : exercices 1) On considère la série P

n>1

1

n et on souhaite montrer qu’elle est divergente.

• On remarque tout d’abord que :

∀x>0, 0 6 ln (1 +x) 6 x

L’inégalité de droite est une inégalité de convexité. En effet, la fonction f :x7→ln(1 +x)est concave. Sa courbe est donc située en dessous de ses tangentes, notamment sa tangente en0:y =f⁰(0) (x−0)+f(0) =x

• La série P

n>1

1 n : - est à termes positifs,

- son terme général vérifie :∀n>1, 0 6 ln

1 + 1 n

6 1

n, - la sérieP

ln

1 + 1 n

est divergente.

,→ on en déduit que la série P

n>1

1

n est divergente.

2) Montrons maintenant que la série P

n>1

1

n² est convergente.

• C’est une série à termes positifs.

• On a, pour tout n>2: 1

n² 6 1 n(n−1).

Pour pouvoir conclure par le théorème précédent il faudrait connaître la nature de la série P

n>2

1 n(n−1).

• Remarquons que :∀k>2, 1

k(k−1) = 1 k−1 −1

k. On a donc :

n

P

k=2

1

k(k−1) =

n

P

k=2

1 k−1 − 1

k

= 1− 1 n −→

n→+∞ 1

• La série P

n>2

1 n² : - est à termes positifs,

- son terme général vérifie :∀n>2, 0 6 1

n² 6 1 n(n−1), - la série P

n>2

1

n(n−1) est convergente.

,→ on en déduit que la série P

n>2

1

n² est convergente.

Il en est de même de la série P

n>1

1 n². 3) On peut enfin s’intéresser aux séries P

n>1

1

n^α avec α∈R.

• Siα>2, on a :∀n>1, 0 6 1

n^α 6 1

n² donc P

n>1

1

n^α converge.

• Siα61, on a :∀n>1, 0 6 1 n 6 1

n^α donc P

n>1

1

n^α diverge.

En fait, on a un résultat plus précis : P

n>1

1

n^α converge ⇔ α >1.

V.3. Application : critères d’équivalence et de négligeabilité Théorème 12.

Soient P

u_n et P

v_n deux séries à termes strictement positifs.

Supposons qu’il existe(m, M)∈R² : ∀n∈N, 0< m6 un

v_n 6M Alors les sériesP

u_n et P

v_n sont de même nature.

Plus précisément, on a : 1) P

un converge ⇔ P

vn converge 2) P

u_n diverge ⇔ P

v_n diverge Démonstration.

Soitn∈N. Par hypothèse, on a : 0< m vn6un6M vn. Par le théorème11, on en déduit que :

1) P

M vn converge⇒ P

un converge⇒ P

m vn converge, 2) P

m vndiverge ⇒P

un diverge⇒ P

M vndiverge.

Il suffit alors de remarquer que les sériesP

m vn,P

M vn etP

vnsont de même nature puisque

n

P

k=0

M v_k=M

n

P

k=0

v_k. Remarque

• La conclusion reste valable avec l’hypothèse moins stricte suivante :

∀n>m, 0< m6 u_n vn 6M

• On peut de même relâcher l’hypothèse de stricte positivité en prenant(u_n) et (v_n) suites de termes positifs telles (v_n) ne s’annule pas à partir d’un certain rang.

Théorème 13. (Critère d’équivalence - critère de négligeabilité) Soient P

un etP

vn deux séries à termes strictement positifs.

1) un ∼

n→+∞ vn (>0) ⇒ P

un et P

vn sont de même nature

2)

• un>0, vn>0

• un= o

n→+∞(vn)

• P

v_n converge











⇒ P

u_n converge

Démonstration.

1) u_n ∼

n→+∞ v_n ⇔ u_n vn

n→+∞−→ 1.

Ainsi :∀ε >0,∃m∈N,∀n>m,

u_n vn

−1 6ε.

Par exemple, siε= 1

2, il existe m∈Ntel que :

∀n>m, 0< 1 2 6 u_n

v_n 6 3 2 2) un= o

n→+∞(vn) ⇔ u_n vn

n→+∞−→ 0.

Ainsi :∀ε >0,∃m∈N,∀n>m,

u_n vn

6ε.

Par exemple, siε= 1, il existem∈N tel que :∀n>m,

u_n v_n 61 Autrement dit :∀n>m, u_n

vn 61et donc 06u_n6v_n. Remarque

• Encore une fois, on peut relâcher l’hypothèse de stricte positivité en pre- nant (u_n) et (v_n) suites de termes positifs telles (v_n) ne s’annule pas à partir d’un certain rang.

Application : exercices

1) Retour sur la divergence de la série P

n>1

1 n. On peut rédiger comme suit :

• ln

1 + 1 n

∼

n→+∞

1 n (>0)

• On en déduit que P

n>1

1 n et P

n>1

ln

1 + 1 n

sont de même nature.

Or P

n>1

ln

1 +1 n

est divergente donc P

n>1

1

n est divergente.

2) Retour la convergence de la série P

n>1

1 n. On peut rédiger comme suit :

• 1 n² ∼

n→+∞

1

n(n−1) (>0)

• On en déduit que P

n>1

1

n² et P

n>2

1

n(n−1) sont de même nature.

Or P

n>2

1

n(n−1) est convergente (cf démo précédente) donc P

n>1

1 n² est convergente.

3) Retour la convergence de la série P

n>1

1

n^α avec α >2.

On peut rédiger comme suit :

• 1

n^α > 0 et 1 n² > 0

• 1

n^α = o

n→+∞

1 n²

car

1 n^α

1 n²

= n² n^α = 1

n^α−2 −→

n→+∞0.

Or P

n>1

1

n² est convergente donc P

n>1

1

n^α est convergente.

Remarque

• Ainsi, pour étudier une sérieP

u_n à termes négatifs, il suffit d’étudier la sérieP

−u_n qui est à termes positifs.

• On aurait donc pu énoncer les Théorèmes 11, 12, 13 sur des séries à termes négatifs. En fait, l’hypothèse adéquate pour ces théorèmes est celle des séries à termes de signe constant.

• Notons que certaines séries ne sont pas à termes de signe constant.

Un exemple particulier est celui des séries dont les termes sont de signes alternés (comme par exemple P

n>1

(−1)ⁿ

n ). Il existe un résultat de conver- gence spécifique à ce type de séries nommées séries alternées(cf TD).

VI. Notion de convergence absolue

Définition Soit P

u_n une série.

• La série P

un est dite absolument convergente si la série P

|u_n| est convergente.

Théorème 14. (Inégalité triangulaire) Soient P

u_n une série.

1)

P un est absolument

convergente ⇒ P

u_n est convergente

2) Dans le cas de la convergence, on a de plus :

+∞

P

k=0

u_k 6

+∞

P

k=0

|u_k|

Démonstration.

1) On introduit (vn)et(wn) les suites définies par : vn= un+|u_n|

2 et wn= |u_n| −un

2

v_n est la partie positive deu_n etw_n est la partie négative de u_n.

• Pour tout n∈N, on a : 0 6 v_n 6 |u_n|.

× Par hypothèse,|u_n|est le terme général d’une suite convergente.

× Ainsi, par le théorème11, la série P

vn est convergente.

• De même, pour tout n∈N, on a : 0 6 w_n 6 |u_n|.

× Par hypothèse,|u_n|est le terme général d’une suite convergente.

× Ainsi, par le théorème11, la série P

wn est convergente.

Enfin, on remarque que, pour tout n∈N,un=vn−wn. La série P un

est la somme de deux séries convergentes. Elle est donc convergente.

2) Par inégalité triangulaire, on a, pour toutn∈N:

n

P

k=0

uk

6

n

P

k=0

|u_k|.

Les séries P

u_n et P |u_n| étant supposées convergentes, on obtient le résultat souhaité par passage à la limite dans cette inégalité.

Remarque

• Ce résultat ainsi que sa démonstration sont analogues au résultat d’inéga- lité triangulaire énoncé dans le chapitre « Intégrales impropres ».

• La notion d’absolue convergence n’est pas équivalente à la notion de conver- gence. Plus précisément : il existe des séries convergentes qui ne sont pas ab- solument convergentes. On parle alors parfois de sériesemi-convergente pour désigner une série convergente mais non absolument convergente.

,→ on verra un exemple en TD Un point sur le BO.

La notion de convergence absolue pour les séries n’est pas développée en première année. Pour citer le programme officiel, « cette notion est abor- dée uniquement pour permettre une définition de l’espérance d’une variable aléatoire discrète » (cf chapitre à venir sur les probabilités).

VII. Résumé des séries rencontrées

u_n Nature deP

u_n

n³ P

n³ diverge

n² P

n² diverge

n P

n diverge

1 P

1 diverge

ln

1 +1 n

P

n>1

ln

1 + 1 n

diverge 1

n

P

n>1

1

n diverge 1

n²

P

n>1

1

n² converge 1

n^α avec α >2 P

n>1

1

n^α converge

Remarque

Comme on le verra par la suite : P

n>1

1

n^α converge ⇔ α >1

MÉTHODO Étude de séries

Afin de déterminer la nature d’une série P

u_n, on pourra penser à utiliser l’une des techniques listées ci-dessous.

1) Étude de la limite de un

a) si un 6−→

n→+∞0, la sérieP

un diverge grossièrement donc diverge.

b) si u_n −→

n→+∞0, la sérieP

u_n ne diverge pas grossièrement.

La série P

un peut être divergente ou convergente.

(une étude plus précise doit être réalisée) 2) SiP

un est à termes positifs (P

un à termes de signe constant) On dispose des trois outils suivants.

a) Critère de comparaison.

b) Critère d’équivalence.

c) Critère de négligeabilité.

3) SiP

u_n « quelconque »

On pourra penser à l’une de ces méthodes.

a) Démontrer de la convergence absolue (techniques du 2) utilisables)

× SiP

|u_n|est convergente (i.e. P

un absolument convergente) alorsP

u_nest convergente.

× SiP |u_n|est divergente alorsP

unpeut être divergente ou convergente.

(une étude plus précise doit être réalisée) b) On revient à la définition : la série P

un est convergente si la suite (S_n) est convergente. On peut calculer S_n :

× en reconnaissant des séries usuelles (série géométrique et ses déri- vées, série exponentielle).

× en reconnaissant une somme télescopique.