II. Méthodes pour déterminer la nature d’une série

Séries réelles

I. Notion de séries à termes réels

Définition

Soit (u_n)n∈N une suite de réels.

• On appellesérie de terme généralunet on noteP

unla suite(Sn)n∈N

dont le terme général S_n est défini par : S_n=

n

P

k=0

u_k.

• La suite(Sn)est appeléesuite des sommes partiellesassociée à la série P un. Son terme général Sn est appelé somme partielle d’ordre n associée à la sérieP

u_n.

• On dit que la série P

u_n est convergente si la suite de ses sommes partielles (S_n)n∈N est convergente.

• On dit que la sérieP

u_nestdivergentesi la suite de ses sommes partielles (Sn)n∈N est divergente.

• Lorsque P

un converge, la limite de la suite(Sn)n∈N est appelée somme de la série et est (souvent) notée S. On a alors :

S =

+∞

P

k=0

u_k = lim

n→+∞ S_n = lim

n→+∞

_n P

k=0

u_k

• Déterminer la nature d’une série, c’est déterminer si elle est convergente ou divergente.

II. Méthodes pour déterminer la nature d’une série

II.1. Une condition NÉCESSAIRE de convergence Théorème 1.

Soit (u_n) une suite de réels.

P un converge ⇒ un −→

n→+∞0

Pour qu’une série converge, il faut que son terme général tende vers 0.

Démonstration.

Supposons que la série P

u_n converge. Ainsi, la suite (S_n) est convergente vers un réel S∈R. Or, pour tout n>1, on a :

u_n = S_n−Sn−1

Comme S_n −→

n→+∞S etSn−1 −→

n→+∞S, on obtient :u_n −→

n→+∞0.

 Cette condition est nécessaire mais pas suffisante. Autrement dit, on peut trouver une suite (un) telle que :

u_n −→

n→+∞0 ⇒ P

u_nconverge

+ _n¹ −→

n→+∞0 mais la série P

n>1 1

n n’est pas convergente.

Théorème 2.

Soit (u_n) une suite de réels.

un 6−→

n→+∞0 ⇒ P

un diverge

• Pour qu’une série diverge, il suffit que son tg ne tende pas vers0.

• On dit que la série P

un est grossièrement divergente si son terme général un est tel que :un 6−→

n→+∞0.

II.2. Technique de télescopage Théorème 3.

Soit (u_n)n∈N une suite de réels.

(un) converge ⇔ P

(un+1−un) converge Application du télescopage

Savoir montrer que la série P

n>1

ln

1 +1 n

est divergente.

Démonstration.

Notons v_n le terme général de cette série. Pour toutn>1 : v_n = ln

1 + 1

n

= ln

n+ 1 n

= ln(n+ 1)−lnn

Ainsi, la somme partielle d’ordren deP

vn est : S_n =

n

P

k=1

v_k =

n

P

k=1

(ln(k+ 1)−ln(k)) = ln(n+ 1)−ln(1) −→

n→+∞ +∞

et donc la série P

n>1

ln

1 +1 n

est divergente.

II.3. Calcul direct des sommes partielles II.3.a) Somme des puissances d’entiers

• Somme desnpremiers entiers

∀n∈N, Sn=

n

P

k=0

k=

n

P

k=1

k= n(n+ 1) 2

∀n∈N, ∀m6n, S_n−Sm−1 = Pn k=m

k = (n−m+ 1)(m+n) 2

Remarque

La formule donnant la valeur de Sn−Sm−1 peut se retenir comme étant le résultat du demi-produit:

× du nombre de termesde la somme (n−m+ 1),

× par la somme(n+m) formée du 1^er termemet du dernier n.

• Somme desnpremiers carrés d’entiers

∀n∈N, T_n=

n

P

k=0

k² =

n

P

k=1

k² = n(n+ 1)(2n+ 1) 6

• Somme desnpremiers cubes d’entiers

∀n∈N, R_n=

n

P

k=0

k³=

n

P

k=1

k³= n²(n+ 1)²

4 = S_n²

II.3.b) Séries géométriques et séries géométriques dérivées (première et deuxième)

Théorème 4.

Soit q∈R.

1) P

qⁿ converge ⇔ |q| < 1

2) P

n>1

n qⁿ⁻¹ converge ⇔ |q| < 1

3) P

n>2

n(n−1)qⁿ⁻² converge ⇔ |q| < 1

De plus, si |q|<1 (i.e. si q∈ ]−1,1[), on obtient les sommes suivantes.

a.

+∞

P

k=0

q^k = 1

1−q ^b.

+∞

P

k=1

k q^k−1 = 1 (1−q)²

c.

+∞

P

k=2

k(k−1) q^k−2 = 2 (1−q)³

II.3.c) Série exponentielle Théorème 5.

Pour tout x∈R, la série P xⁿ

n! converge et : e^x =

+∞

P

k=0

x^k k!

Ainsi :

n

P

k=0

x^k k! −→

n→+∞ e^x II.4. Les séries de Riemann

Théorème 6.

P 1

n^α converge ⇔ α > 1

II.5. Comparaison séries / intégrales Théorème 7.

On considère une fonction f : [0,+∞[→Rcontinue sur [0,+∞[.

On suppose de plus quef est décroissante sur[0,+∞[. Alors :

∀k∈N^∗, f(k) 6 Z k

k−1

f(t) dt 6 f(k−1)

On en déduit, par sommation :

∀n∈N^∗,

n

P

k=1

f(k) 6 Z n

0

f(t) dt 6

n

P

k=1

f(k−1)

Enfin :

n

P

k=1

f(k) =Sn−f(0) et

n

P

k=1

f(k−1) =

n−1

P

k=0

f(k) =Sn−1. (prudence lors de la sommation : pour quels entiers k peut-on sommer ?) Représentation graphique

y

x f(k−1)

f(k)

k−1 k f(k)

Z k k−1

f(t) dt f(k−1)

Démonstration.

Soitk∈N^∗.

• Soit t∈[k−1, k].

Comme k−1 6 t 6 k

alors f(k−1) > f(t) > f(k) (par décroissance de la fonctionf sur [0,+∞[)

• La fonction f est continue sur le segment[k−1, k].

On en déduit que l’intégrale Z k

k−1

f(t) dtest bien définie.

De plus, par croissance de l’intégration, les bornes étant dans l’ordre crois- sant (k−16k) :

Z k k−1

f(k−1)dt >

Z k k−1

f(t) dt >

Z k k−1

f(k)dt

q q

k−(k−1)

f(k−1) k−(k−1)

f(k)

∀k∈N^∗,f(k) 6 Z k

k−1

f(t)dt 6 f(k−1)

• Soit n∈N^∗. On obtient, par sommation des inégalités précédentes : Pn

k=1

f(k) 6 Pn k=1

Z _k

k−1

f(t) dt 6 Pn k=1

f(k−1) q

Z _n

0

f(t) dt (d’après la

relation de Chasles) Enfin :

n

P

k=1

f(k) =S_n−f(0) et

n

P

k=1

f(k−1) =

n−1

P

k=0

f(k) =Sn−1.

II.6. Séries à termes positifs

II.6.a) Les résultats fondamentaux Théorème 8.

Soit P

u_n une série et (S_n)n∈N la suite des sommes partielles associée.

(∀n∈N, un>0) ⇒ (Sn) est croissante Ainsi, si P

u_n est une série à termes positifs (∀n∈N, u_n>0), on a : 1) (S_n) est majorée ⇒ P

u_n converge 2) (S_n) non majorée ⇒ S_n −→

n→+∞+∞

II.6.b) Critère de comparaison des séries à termes positifs Théorème 9.

Soient P

u_n etP

v_n deux séries à termes positifs.

Supposons : ∀n∈N, 06un6vn

Alors 1) P

vn converge ⇒ P

un converge 2) P

u_n diverge ⇒ P

v_n diverge

• ∀n∈N, u_n>0, etv_n>0

• u_n= o

n→+∞(v_n)

• P

vn converge











⇒ P

u_n converge

u_n ∼

n→+∞ v_n (>0) ⇒ P

u_n et P

v_n sont de même nature

Application (critère d’inégalité)

1) Savoir montrer que la série P

n>1

1

n est divergente (sans utiliser le critère de Riemann !).

× ∀n∈N^∗,0 6 ln

1 +1 n

6 1

n.

× La série P

n>1

ln

1 + 1 n

est divergente.

(on peut le montrer à l’aide de la technique de télescopage)

Ainsi, par le critère de comparaison des séries à termes positifs, la série P

n>1

1

n est divergente.

2) Savoir montrer que la série P

n>1

ln

1 + 1 n²

est convergente.

× ∀n∈N^∗,0 6 ln

1 + 1 n²

6 1

n².

× La série P

n>1

1

n² est est une série de Riemann d’exposant2 (>1).

Elle est donc convergente.

Ainsi, par critère de comparaison des séries à termes positifs, la série P

n>1

ln

1 + 1 n²

est convergente.

On a utilisé l’inégalité : ∀x >0, 06ln(1 +x)6x (concavité de la fonc- tion x7→ln(1 +x))

en x= ¹_n >0 et enx= _n¹2 >0.

Application (critère de négligeabilité)

Démontrer que la série P

n>1

ln(n)

n³ est convergente.

× ∀n∈N^∗, ln(n)

n³ >0et 1 n² >0.

× ln(n) n³ = o

n→+∞

1 n²

(on le démontre en formant le quotient !).

× La série P

n>1

1

n² est est une série de Riemann d’exposant2 (>1).

Elle est donc convergente.

Ainsi, par le critère de négligeabilité des séries à termes positifs, la série P

n>1

ln(n)

n³ est convergente.

Application (critère d’équivalence)

Démontrer que la série P

n>1

ln

1 + 1 n

est divergente.

× ∀n∈N^∗, 1 n >0.

× ln

1 + 1 n

∼

n→+∞

1 n.

× La série P

n>1

1

n est est une série de Riemann d’exposant1 (6>1).

Elle est donc divergente.

Ainsi, par le critère d’équivalence des séries à termes positifs, la série P

n>1

ln

1 +1 n

est divergente.

II.7. Notion de convergence absolue

Théorème 10.

• La série P

u_n est diteabsolument convergente si la série P |u_n|est convergente.

1)

P u_n est absolument

convergente ⇒ P

u_n est convergente

2) Dans le cas de la convergence, on a de plus :

+∞

P

k=0

u_k 6

+∞

P

k=0

|u_k|

(extension de l’inégalité triangulaire) Démonstration.

1) On introduit (vn)et(wn) les suites définies par : vn= un+|u_n|

2 et wn= |u_n| −un

2

v_n est la partie positive deu_n etw_n est la partie négative de u_n.

• Pour tout n∈N, on a : 0 6 v_n 6 |u_n|.

× Par hypothèse,|u_n|est le terme général d’une suite convergente.

× Ainsi, par le critère de comparaison des séries à termes positifs, la sérieP

vn est convergente.

• De même, pour tout n∈N, on a : 0 6 wn 6 |u_n|.

× Par hypothèse,|u_n|est le terme général d’une suite convergente.

× Ainsi, par le critère de comparaison des séries à termes positifs, la sérieP

w_n est convergente.

Enfin, on remarque que, pour tout n∈N,u_n=v_n−w_n. La série P u_n est la somme de deux séries convergentes. Elle est donc convergente.

2) Par inégalité triangulaire, on a, pour toutn∈N:

n

P

k=0

uk

6

n

P

k=0

|u_k|.

Les séries P

u_n et P |u_n| étant supposées convergentes, on obtient le résultat souhaité par passage à la limite dans cette inégalité.

Remarque

La notion d’absolue convergence n’est pas équivalente à la notion de conver- gence. Plus précisément : il existe des séries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes. On parle alors parfois de sériesemi-convergente pour désigner une série convergente mais non absolument convergente.

Exercice

Soit(u_n)n∈N une suite telle que :

• ∀n∈N, u_n>0,

• (un) est décroissante,

• u_n −→

n→+∞0.

Le but de cet exercice est de montrer que P(−1)ⁿu_n est convergente.

Pour tout n∈N, on note S_n=

n

P

k=0

(−1)^k u_k.

a. Montrer que les suites (S_2n) et(S_2n+1) sont adjacentes.

b. En déduire que la sérieP

(−1)ⁿunest convergente. On noteSsa somme.

c. Démontrer que : ∀n∈N, S_2n+1 6 S 6 S_2n. d. Montrer que S vérifie : ∀n∈N, |S_n−S| 6 u_n+1.

(on pourra traiter séparément le cas n pair et le cas nimpair) Application :

e. Quelle est la nature de la série P

n>2

(−1)ⁿ ln(n) ? Donner un majorant de son reste d’indice n.

f. La série précédente est-elle absolument convergente ?

III. Bilan du chapitre

Résumé des séries rencontrées

On regroupe dans le tableau ci-dessous les séries rencontrées dans le cha- pitre (cours et TD). Savoir démontrer les résultats contenus dans ce tableau constitue un excellent exercice de vérification des techniques du chapitre.

P un Nature deP

un

P n³ P

n³ diverge (grossièrement)

P n² P

n² diverge (grossièrement)

P n P

n diverge (grossièrement)

P 1 P

1 diverge (grossièrement)

P

n>1

ln

1 +1 n

P

n>1

ln

1 +1 n

diverge

P

n>1

1 n

P

n>1

1

n diverge P

n>1

1 n²

P

n>1

1

n² converge

P

n>1

ln

1 + 1 n²

P

n>1

ln

1 + 1 n²

converge

P

n>1

1 n^α

P

n>1

1

n^α converge ⇔ α >1

... ...

... ...

P

n>1

1 n^α

P

n>1

1

n^α converge ⇔ α >1

P qⁿ P

n>0

qⁿ converge ⇔ |q|<1

P

n>1

n qⁿ⁻¹ P

n>1

n qⁿ⁻¹ converge ⇔ |q|<1

P

n>2

n(n−1)qⁿ⁻² P

n>2

n(n−1)qⁿ⁻² converge ⇔ |q|<1

P

n>1

ln(n) n²

P

n>1

ln(n)

n² converge P ln(n)

2ⁿ

P

n>0

ln(n)

2ⁿ converge

P e⁻ⁿ P

n>0

e⁻ⁿ converge

P xⁿ n!

P xⁿ

n! converge (pour toutx∈R)

P

n>1

(−1)ⁿ n

P

n>1

(−1)ⁿ

n converge mais n’est pas absolument convergente

P

n>1

(−1)ⁿ n²

P

n>1

(−1)ⁿ

n² est (absolument) convergente

MÉTHODO Étude de séries (bilan du chapitre) Afin de déterminer la nature d’une série P

u_n, on pourra penser à utiliser l’une des techniques listées ci-dessous.

1) Étude de la suite (u_n) a) Siu_n 6−→

n→+∞

0, la série P

u_n diverge grossièrement donc diverge.

b) Siun −→

n→+∞0, la série P

un ne diverge pas grossièrement.

La série P

un peut être divergente ou convergente.

(une étude plus précise doit être réalisée)

C’est une première étude de la « taille » du terme généralu_n de la série P u_n étudiée.

2) SiP

un est à termes positifs (i.e. si :∀n∈N, un>0) On dispose des trois outils suivants.

a) Théorème de comparaison des séries à termes positifs.

b) Théorème d’équivalence des séries à termes positifs.

c) Théorème de négligeabilité des séries à termes positifs.

On estime ici plus précisément la « taille » du terme généralu_nde la série P un étudiée.

Pour ce faire, on compareunau terme généralvnd’une série de référence.

(on pensera notamment à des séries de terme général v_n = 1

n^α dont la nature est donnée par le critère de Riemann)

Note: siP

unest à termes négatifs, on étudieP

−u_n qui est de même nature que P

u_n.

3) SiP

u_n « quelconque » (P

u_n à termes de signe non constant) On pourra penser à l’une de ces méthodes.

a) Démontrer de la convergence absolue (comme|u_n|>0, les techniques du 2) sont utilisables)

• SiP

|u_n|est convergente (i.e.P

u_nabsolument convergente) alors P un est convergente.

• SiP

|u_n|est divergente alorsP

unpeut être divergente ou conver- gente(une étude plus précise doit être réalisée).

b) On revient à la définition : la série P

u_n est convergente si la suite (S_n) est convergente.

• On peut calculer S_n :

× en reconnaissant des séries usuelles (notamment les séries géomé- triques et géométriques dérivées premières / deuxième, la série exponentielle).

× en reconnaissant une somme télescopique.

• On peut estimer Sn à l’aide d’une inégalité telle que celle fournie par une comparaison séries / intégrales.

Évidemment, les techniques du 3)b) restent utilisables pour une série à termes positifs.