On considère la série de terme général :

PanaMaths Novembre 2008

On considère la série de terme général :

( )

3 4

1 cos

n

u

n

n n

= − +

1. La série ∑ u

_n

est-elle absolument convergente ?

2. Etudier la nature de ∑ u

_n

(indication : on posera ( )

3 4

1

ⁿ

n n

u v

n

= − + ).

Analyse

On a affaire à une série alternée dont la valeur absolue du terme général n’est pas

décroissante. Dans la première question, on trouve un équivalent simple de u_n qui permet de conclure rapidement. Dans la deuxième question, on écrit u_n sous la forme d’une somme et l’étude de

∑

u_n se ramène à celle de deux séries.

Résolution

1. On a facilement

3

04+cos 0= + =0 1 1 et

3

14+cos1 1 cos1 1= + > (car 0 1 3

< <π ).

Par ailleurs, la fonction

3

x x4 est strictement croissante sur

]

^1;+∞

[

et on a :

]

^1;

[

^{, 134}

x x

∀ ∈ +∞ > . Comme, pour tout x réel, on a : 1 cos− ≤ x≤1, il vient finalement :

3

*, cos4 0

n n n

∀ ∈ + >

En définitive : ₃

4

, 1

cos n un

n n

∀ ∈ =

+ .

On a également, pour tout entier naturel n non nul :

3 3

4 4

3 4

1 1

*,

cos 1 cos

n un

n n n n

n

∀ ∈ = =

⎛ ⎞

+ ⎜ + ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

PanaMaths Novembre 2008

Comme on a : ∀ ∈n *, 1 cos− ≤ n≤1 et

3

lim 4

n n

→+∞ = +∞, il vient :

3

lim 4 _n 1

n n u

→+∞

⎛ ⎞

⎜ ⎟=

⎝ ⎠ . Soit :

3 4

1 un

n

+∞∼ .

Mais la série ₃

4

1 n

∑

est divergente (série de Riemann et 3

4≤1). On en déduit que la série

un

∑

est également divergente.

La série

∑

u_n n’est pas absolument convergente.

2. Comme indiqué, nous posons :

( )

3 4

1 ⁿ

n n

u v

n

= − + .

On a alors :

( )

_{3 3}

( ) ( ) ( )

_{3 3 3}

( )

¹

4 4 4 4 4 3

2

3 4

1 1 1 cos cos

1 1

cos cos 1 cos

n n n

n n

n n

n n

v u

n n n n n n n n n

n

− − − − +

= − = − = − = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠

On en tire :

3 3

2 2

3 3

4 4

cos 1

cos cos

1 1

n

v n

n n

n n

n n

= ≤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Or, ₃

3 2

2

3 4

1 1

1 cosn n

n

n

⎛ ⎞+∞

⎜ + ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∼ et la série de Riemann ₃

2

1 n

∑

est convergente (3

2>1). On en

déduit que la série

3 2

3 4

1 1 cosn n

n

⎛ ⎞

⎜ + ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

converge puis qu’il en va de même pour la série vn

∑

^.

La série

∑

v_n étant absolument convergente, elle est convergente.

Par ailleurs, la série

( )

3 4

1 ⁿ n

∑

− est une série alternée.

PanaMaths Novembre 2008

On a facilement

( )

3 3

4 4

1 1

lim lim 0

n

n n

n n

→+∞ →+∞

− = = . D’après le critère spécial des séries alternées,

on en déduit que la série

( )

3 4

1 ⁿ n

∑

− converge.

En résumé :

( )

3 4

1 ⁿ

n n

u v

n

= − + et les séries

( )

3 4

1 ⁿ n

∑

− ^et

∑

^vn convergent. On peut alors en

conclure que :

La série

∑

u_n est convergente.

Résultat final

La série de terme général

( )

3 4

1 cos

n

un

n n

= − +

converge.