PanaMaths Février 2005
Etudier la série de terme général : ln
n
n
u = n
Analyse
On doit d’emblée remarquer que pour n suffisamment grand, on a un >0. On écrit alors que un majore le terme général d’une série classique …
Résolution
On a : et ln est une fonction strictement croissante sur \+*. On en tire : ∀ ∈n `, 1n> ⇒lnn>1.
Le terme général un est donc strictement positif à partir du rang 2.
Par ailleurs, e2, 718 et lne=1
On a alors : ln 1
, 2 n
n n
n n
∀ ∈` > ⇒ > .
Or, la série 1
∑
n est divergente :1
1
n n
+∞
=
∑
= +∞. On a donc minoré le terme général de la série lnn∑
n par le terme général d’une série dont la somme est infinie.On en déduit finalement :
lnn
∑
n divergeRésultat final
La série de terme général lnn
n est divergente.
ln1 0=
