() () () () LIMITES DE SUITES.

LIMITES DE SUITES.

I. Limite d une suite.

1. Limite infinie.

Définition : Une suite ( ) ^{u n} a pour limite  signifie que tout intervalle ouvert de la forme ] A  [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors lim

n

u n = .

Une suite ( ) ^{u n} a pour limite  signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]  b [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors lim

n

u n = .

Intuitivement, une suite tend vers + si tous ses termes (sauf un nombre fini) finissent par dépasser n’importe quel nombre A .

Graphiquement :

Exemples :

Soit ( ) ^{u n} la suite définie par u n n , pour tout n de .

Soit ( ) ^{v n} la suite définie par v n n ², pour tout n de .

2. Limite finie.

Définition : Soit ( ) ^u n une suite numérique et L un nombre réel.

La suite ( ) ^{u n} converge vers L ou a pour limite L quand n tend vers + signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On note lim

n

u n L.

Une suite qui n est pas convergente est dite divergente.

Intuitivement, une suite converge vers un réel L lorsque ses termes s accumulent autour de L à partir d un certain rang.

Graphiquement :

Théorème (admis) : La limite d une suite, lorsqu elle existe, est unique.

3. Limites à connaître.

lim

n

1

n lim

n

1

n ² lim

n

¹

n ^k lim

n

¹

e ⁿ 0 pour tout entier naturel k.

lim

n

n lim

n

n² lim

n

n ^k lim

n

n lim

n

e ⁿ pour tout entier naturel k.

4. Des suites sans limite.

Une suite n a pas forcément de limite.

Exemples :

 Soit ( ) ^{v n} la suite définie par v n sin(n ) pour tout n de .

 …..

II. Opérations et limites.

Dans les tableaux (qui sont admis) suivants, L et L sont des réels.

1. Limite d’une somme.

Si ( ) ^{u n} a pour limite L L ou + L ou +

et si ( ) ^{v n a pour}

limite

L +

alors ( ^{u n v n} ) ^{a pour}

limite

2. Limite d’un produit.

Si ( ) ^{u n} a pour limite L L > 0 ou L > 0 ou L < 0 ou L < 0 ou 0

et si ( ) ^{v n} a pour limite L + + + ou

alors ( ^{u n v n} ) ^{a pour}

limite

3. Limite d’un quotient.

a. Si la limite du dénominateur n’est pas nulle.

Si ( ) ^{u n} a pour limite L ϵ L > 0 ou et si ( ) ^{v n} a pour limite L ϵ + ou L > 0 L < 0 L > 0 L < 0 + ou

alors

 

  u n

v n

a pour limite

b. Si la limite du dénominateur est nulle.

Si ( ) ^{u n} a pour limite L > 0 ou + L > 0 ou + L < 0 ou L < 0 ou 0 et si ( ) ^{v n} a pour limite

0 en restant positive à partir d’un certain rang

0 en restant négative à partir d’un certain rang

0 en restant positive à partir d’un certain rang

0 en restant négative à partir d’un certain rang

0

alors

 

  u n

v n

a pour limite

LES CAS DE F I SERONT TRANSFORMES POUR POUVOIR DÉTERMINER LA LIMITE.

Exemples :

Soit ( ) ^u n la suite définie par u _n 3e ⁿ 5 n

Soit ( ) ^{u n} la suite définie par u n ( n ² 3n 2)

 

 

1

n 4

Soit ( ) ^v n la suite définie par v n 2n ³ 8 n² 3 n 1

Soit ( ) ^{z n} la suite définie par z n

2n ³ 5n ² 3n 1 3 n ³ 2n 5

Soit ( ) ^{w n} la suite définie par w n = n² 5 n

III. Limites et comparaison.

1. Théorème des gendarmes.

Théorème des gendarmes (admis) : Si ( ) ^u n , ( ) ^v n et ( ) ^w n sont trois suites telles que v n u n w n à partir d un certain rang.

Si les suites ( ) ^v n et ( ) ^w n convergent vers la même limite L, alors ( ) ^u n converge vers L.

Exemples :

Soit ( ) ^{u n} la suite définie sur * par u n

n ( 1 ) ⁿ

n .

Soit ( ) ^v n la suite définie sur par v n 2cos( n) n².

2. Théorèmes de comparaison.

( ) ^{u n et} ( ) ^{v n} sont deux suites. Si à partir d un certain rang n 0 , u n v n et si lim

n

u n , alors lim

n

v n

Démonstration à connaître :

( ) ^u n et ( ) ^v n sont deux suites. Si à partir d un certain rang n 0 , u n v n et si lim

n

v n , alors lim

n

u n

Démonstration à connaître :

IV. Limite d une suite géométrique.

Théorème : Soit q un réel.

Si q 1, alors ...

Si − 1 q 1, alors ...

Si q 1,alors ...

Démonstration à connaître (au dos) :

Application :

Soit une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. Alors, pour tout n de , u n u 0 q ⁿ .

 Soit ( ) ^{u n} la suite géométrique de premier terme u 0 5 et de raison 1 3 .

 Soit ( ) ^{v n} la suite géométrique de premier terme u 0 5 et de raison 8.

 Méthode à savoir refaire !!!

Soit ( ) ^{u n} la suite définie sur par u 0 5 et u n 1

1 5 u n 2.

1. Montrer que la suite ( ) ^u n n est ni arithmétique ni géométrique.

2. Pour tout n de , on pose v n u n

5 2 a. Montrer que ( ) ^v n est géométrique.

b. Exprimer v n puis u n en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u n .

d. Pour tout n de , on pose S n u 0 u 1 … u n . Exprimer S n en fonction de n puis déterminer la

limite de la suite ( ) ^{S n .}