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Terminale S
Suite, Intégral, Nombre complexes
03 Septembre 2019
P. S. WADE
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N
lim
−→∞N Y
i=1 N X
i=0 Z
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1.1 Exercice 1:
Soit n ∈N∗, on pose la suite In par : In=
Z π 0
(t2
2π −t)cos(nt)dt Q1) Montrer que
In = 1 n2.
Q2) Soit x∈R∗+ et C une fonction dérivable sur [0, π].
a) Montrer que
|
Z π 0
C(t)sin(xt)dt| ≤ 1 x
|C(0)|+|C(π)|+
Z π 0
C0(t)dt
.
b) Vérifier que pour tout t∈ ]0, π] on a : 1 + 2
n
X
k=1
cos(kt) = sin(2n+12 t) sint(2t) Q3) On pose:
C(t) =
t2 2π−t
sin(t2), si t ∈]0, π]
−2, si t = 0 a) Montrer que C est continue sur [0, π].
b) Montrer que C0 est continue sur [0, π].
c) En déduire que que
n−→∞lim (1 + 1 22 + 1
32 +...+ 1
n2) = π2 6 .
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1.2 Exercices 2:
Soit (Sn)n≥2 définie par:
Sn=
n
X
k=0
sin(kπ n ) Q1) On pose pour n ≥2
z = exp(iπ n) Calculer la somme:
n−1
X
k=0
zk
Q2) Monter que pour tout n≥2:
2
1−z = 1 +i 1 tan(2nπ ) Q3) Déduire que pour n ≥2
Sn= 1 tan(2nπ) Q4) Étudier la limite de la suite (Un)n≥2 par
Un= Sn n
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1.3 Problème
1.3.1 • Partie A:
Soit a, b∈R∗, on posega(t) = ta avect≥0 I(a, b) =
Z 1 0
ga(t)gb(t−1)dt
Q1) Comparer I(a, b) et I(b, a) Q2) Trouver une relation entre I(a+ 1, b) et I(a, b+ 1) Q3) Calculer I(a,0), en déduire que pour tout n∈N on a :
I(a, n) = n!
Qn+1
k=1(a+k).
Q4) Soit p etq ∈N. Exprimer I(p, q) à l’aide de la factorielle. En déduire la valeur de J(p, q) =
Z π
2
0
(sin(θ))2p+1∗(cos(θ))2q+1dθ
1.3.2 • Partie B
Pour tout a≥0 on note:
fa(x) = xln(1− a x).
Q1) Montrer que fa(x) existe ssi1− ax >0.
Q2) Soit a et xdeux réels tel que 0 < a < x Démontrer que
a
x ≤ln(x)−ln(x−a)≤ a x−a. Q3) Déduire la variation de fa.
Q4) Soit yn= (1− na)n pour toutn ∈Net n > a.
Étudier le sens de variation et la limite de yn.
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1.3.3 • Partie C
On pose pour toutx∈R∗ et n∈N∗ Fn(x) =
Z n 0
(1− u
n)nuxdu.
Q1) Montrer que Fn(x) =nx+1I(x, n).
Q2) En utilisant le résultat de la partie B.
Montrer que pour tout xréel fixé la suite (Fn(x))n∈N est croissante.
Q3)
• a) Monter qu’il existe un réel positif U tel que pour toutu ∈R+: u≥U => e−U ≤ 1
ux+2)
• b) Déduire que pour tout n N∗ on a : Fn(x)≤
Z U 0
e−Uuxdu+ 1 U.
• c) Montrer que la suite Fn(x) est convergente.
Q4) Démontrer la relation fonctionnelle pour tout x∈R∗ F(x+ 1) = (x+ 1)F(x).
********** FIN DU SUJET ! **********
Bon courage, vous pouvez y arriver !
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