Les complexes 2eme partie suite et exercices

25/03/2020

Les complexes 2eme partie suite et exercices

L’écriture exponentielle de la rotation 1)RAPPEL

On appelle une rotation R de centre Ω 𝑒𝑡 d’angle 𝛼 toute transformation notée R (Ω ; 𝛼)

Définie par pour tout point M et M’du Plan on a :

R(M) = M’

ΩΜ

= ΩΜ et (Ω𝑀 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; Ω𝑀′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =

𝛼[2𝜋]

M’

’

α M

2) La forme exponentielle de R (Ω ; 𝛼)

Dans le plan complexe soient Ω(𝑎; 𝑏)𝑒𝑡 𝑀(𝑥; 𝑦)𝑒𝑡 𝑀′(𝑥^′; 𝑦^′) 3points d’affixes respectifs 𝜔; 𝑍; Ζ′ et soit 𝛼 un réel

On a R(M) = M’  |𝑍^′ − 𝜔| = |Ζ − 𝜔| et 𝐴𝑟𝑔 (^Ζ′−𝜔

Ζ−𝜔) = α[2𝜋]

 |^Ζ′−𝜔

Ζ−𝜔| = 1 Et 𝐴𝑟𝑔 (^Ζ′−𝜔

Ζ−𝜔) = α[2𝜋]

 ^Ζ′−𝜔

Ζ−𝜔 = 𝑒^𝛼

 Ζ^′ − 𝜔 = (Ζ − 𝜔)𝑒^𝛼

 Ζ^′ = (Ζ − 𝜔)𝑒^𝛼+ 𝜔

La dernière écriture est la forme exponentielle de la rotation R

(Ω ; 𝛼)

Séries d’exercices sur les complexes 2eme partie

Dans le plan complexe muni du repère orthonormé (𝑜; 𝑢⃗ ; 𝑣)⃗⃗⃗⃗ on considère la rotation 𝑅(𝑜;^𝜋

3)

Soit M(z) un point du plan différent de o et M’(z’) son image par la rotation R

On a alors les deux relations (1) OM’=OM (2) (𝑂𝑀̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

= ^𝜋

3[2𝜋]

1) écrire les deux relations en utilisant les complexes 2) déduire que 𝑍^′ = 𝑒^𝑖𝜋3Z

3) soient A ; B ; C trois points d’abscices respectifs 𝑍_𝐴 = √3 − 𝑖; 𝑍_𝐵 =

√3 + 𝑖; 𝑍_𝐶=2i

3-1) Montrer que R(A) = B et R(B) = C

3-2) Déduire que le quadrilatère OABC est un losange Exercice 2

1) Résoudre dans C L’équation (E) 𝑍²+ 2𝑍 + 4 = 0

2) On considère dans le plan complexe les points A ; B ; C / 𝑍_𝐴 = 2 ; 𝑍_𝐵 = −1 + 𝑖√3 ; 𝑍_𝐶 = 𝑍̅̅̅̅ _𝐵

2-1) Montrer que :

_𝑍^{𝑍𝐶−𝑍𝐴}

𝐵−𝑍_𝐴 = 𝑒^𝑖𝜋3 2-2) Déduire la nature du triangle ABC