Correction Exercice 1 - Exercice 2 et Exercice 106 p 274
Correction Exercice 1
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : f(x)=ex−4
f est dérivable surRet pour toutxon a : f′(x)=ex
g(x)= −2ex+7
g est dérivable surRet pour toutxon a : g′(x)= −2ex
h(x)=3x−ex
hest dérivable surRet pour toutxon a : h′(x)=3−ex
k(x)=3x2+7ex−9x+4
kest dérivable surRet pour toutxon a : k′(x)=6x+7ex−9
a(x)=(8x+1)ex
La fonctionaest dérivable surRcomme produit de deux fonctions dérivables et on a : u(x) = 8x+1
u′(x) = 8
v(x) =ex v′(x) =ex Rappel :a′=u′v+uv′
On a donc :a′(x)=8ex+(8x+1)ex On factorise l’expression :
a′(x)=8ex+(8x+1)ex a′(x)=ex(8+(8x+1)) a′(x)=ex(8+8x+1) a′(x)=ex(8x+9) b(x)= 3ex
4x+1
4x+1=0 4x= −1
x=
−1 4 La fonctionbest dérivable surR\
½−1 4
¾
comme quotient de deux fonctions dérivables et on a : u(x) = 3ex
u′(x) = 3ex
v(x) = 4x+1 v′(x) = 4 Rappel :b′=u′v−uv′
v2
On a donc :b′(x)=3ex(4x+1)−3ex×4 (4x+1)2
On factorise le numérateur de l’expression : b′(x)=3ex(4x+1)−3ex×4
(4x+1)2 b′(x)=3ex((4x+1)−4)
(4x+1)2 b′(x)=3ex(4x+1−4)
(4x+1)2 b′(x)=3ex(4x−3)
(4x+1)2
1
Exercice 2 (version guidée)
1. Soitf une fonction définie surRpar f(x)=5ex a. Déterminer la dérivée def.
b. Compléter le tableau ci-dessous :
x Signe de ...
Signe de ...
Signe de f′(x) Variation
de f
−∞ +∞
c. En déduire le sens de variation def.
2. Soitg une fonction définie surRparg(x)=(2x+1)ex a. Montrer que pour tout réelxon a :g′(x)=ex(2x+3).
b. Compléter le tableau ci-dessous : x Signe de ex Signe de
2x+3 Signe de g′(x) Variation
de g
−∞ +∞
0
c. En déduire le sens de variation deg.
3. Soithune fonction définie surRparh(x)=(−3x+2)ex a. Montrer que pour tout réelxon a :h′(x)=(−3x−1)ex. b. Compléter le tableau ci-dessous :
x Signe de ex Signe de
−3x−1 Signe de h′(x) Variation
de h
−∞ +∞
0
c. En déduire le sens de variation deh.
2
4. Soitdune fonction définie pard(x)= ex 3x−5 a. Donner son ensemble de définitionI.
a. Montrer que pour tout réel deI on a :d′(x)=ex(3x−8) (3x−5)2 . b. Compléter le tableau ci-dessous :
x Signe deex Signe de
3x−8 Signe de (3x−5)2 Signe de d′(x) Variation
de d
−∞ +∞
0 0
0
c. En déduire le sens de variation ded.
5. Soitmune fonction définie parm(x)= ex
−2x+6 a. Donner son ensemble de définitionI.
a. Montrer que pour tout réel deI on a :m′(x)=ex(−2x+8) (−2x+6)2 . b. Compléter le tableau ci-dessous :
x
Signe deex Signe de
−2x+8 Signe de (−2x+6)2
Signe de m′(x) Variation
de m
−∞ +∞
0 0
0
c. En déduire le sens de variation dem.
Soitf une fonction et A(a;f(a)) un point de la courbe représentative de f.
L’équation de la tangente à la courbe représentative def au point d’abscisseaest donné par : y=f′(a)(x−a)+f(a)
6. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1.
Aide : Déterminerf(1)→Déterminerf′(1)→Déterminer l’équation de la tangente.
7. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative deg au point d’abscisse−2.
Aide : Déterminerg(−2)→Déterminerg′(−2)→Déterminer l’équation de la tangente.
8. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative dehau point d’abscisse 5.
9. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative dedau point d’abscisse−4.
3
Exercice 106 p 274 (version guidée)
1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle (c’est à dire que f(x)=ex) au point d’abscisse 0.
2. A l’aide d’une calculatrice, conjecturer la position relative de la courbe et de cette tangente.
(Tracer les courbes représentatives de la fonction exponentielle et celle de la tangente àCf.) 3. Soitg la fonction définie surRparg(x)=ex−(x+1).
a. Montrer queg(x)=ex−x−1 b. Pour toutxréel, calculerg′(x).
c. Étudier le signe de la dérivée et faire un tableau de signes. (Aide : Six=0 ,e0=1) d. En déduire les variations deg surR.
e. En déduire que la courbe représentative de la fonction exponentielle est située au-dessus de sa tangente au point d’abscisse 0.
4
