EXERCICES COMPLEXES

EXERCICES COMPLEXES

saidani moez bac maths:2014/2015 EXERCICE N 1

On considère l’application f dé…nie de C surC par: f(z) =az+ (1 +i)(1 a)avec a =¹⁺ⁱ₄^p3 1. Déterminer le module et l’argument de nombre complexe a

2. Montrer que f(z) = z possède une unique solution ! que l’on déterminera

3. Le plan complexe P muni d’un R.O.N.D.(O;!u ;!v) et on considère les points A(!); M(z)et M⁰(f(z)) et on supposez 6=!

(a) Donner la mesure de l’angle (IM ;!\!

IM⁰)puis déterminer IM⁰ en fonction de I

(b) On considère A0 le point d’a¢ xe z0 = 1 + 2i et on considère la suite (zn)n2N : dé…nie par : (8n 2 N);z_n+1 =f(z_n)

Exprimer la distance IA_n en fonction den (avecA_n et le point d’a¢ xe z_n ) puis calculerlim IA_n EXERCICE N 2

Le plan complexe P muni d’un R.O.N.D.(O;!u ;!v ) et on considère les points A( 1); B(1) et c(ip

3) et le cercle circonscrit le triangle ABC .Soit z 2C8f1g et on pose'(z) = ^z_z+1¹;j = ¹⁺ⁱ₂^p3

A

1. Montrer que le triangle ABC est un triangle équilatéral 2. Ecrire '(ip

3) sous la forme exponentielle

3. Montrer que 8z 2C8f 1; 1g: M A;!\M B! ²₃ [2 ],j'(z)2R+

B 1. Montrer que 8u2C:ju+ 1j=juj+ 1 ,u2R⁺ 2. pour tout 8z 2C8f1gon pose z⁰ ='(z)

(a) Montrer que j(jz⁰+ 1) = ^ip_z+1^{3 z}

(b) Véri…er que M(z)du plan M 6=A;jjz⁰+ 1j= ^{M C}_{M A} (c) Déduire que :M A+M B =M C , jjz⁰+ 1j=jz⁰j+ 1

(d) Déduire d’aprés ce qui précède tel que =fM 2P8M A+M B =M Cg C 1. Résoudre dansC: ('(z))⁵ = 1

2. Ecrire les solutions sous la forme exponentielle 3. Montrer que les solutions sont imaginaires purs

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