EXERCICES COMPLEXES
saidani moez bac maths:2014/2015 EXERCICE N 1
On considère l’application f dé…nie de C surC par: f(z) =az+ (1 +i)(1 a)avec a =1+i4p3 1. Déterminer le module et l’argument de nombre complexe a
2. Montrer que f(z) = z possède une unique solution ! que l’on déterminera
3. Le plan complexe P muni d’un R.O.N.D.(O;!u ;!v) et on considère les points A(!); M(z)et M0(f(z)) et on supposez 6=!
(a) Donner la mesure de l’angle (IM ;!\!
IM0)puis déterminer IM0 en fonction de I
(b) On considère A0 le point d’a¢ xe z0 = 1 + 2i et on considère la suite (zn)n2N : dé…nie par : (8n 2 N);zn+1 =f(zn)
Exprimer la distance IAn en fonction den (avecAn et le point d’a¢ xe zn ) puis calculerlim IAn EXERCICE N 2
Le plan complexe P muni d’un R.O.N.D.(O;!u ;!v ) et on considère les points A( 1); B(1) et c(ip
3) et le cercle circonscrit le triangle ABC .Soit z 2C8f1g et on pose'(z) = zz+11;j = 1+i2p3
A
1. Montrer que le triangle ABC est un triangle équilatéral 2. Ecrire '(ip
3) sous la forme exponentielle
3. Montrer que 8z 2C8f 1; 1g: M A;!\M B! 23 [2 ],j'(z)2R+
B 1. Montrer que 8u2C:ju+ 1j=juj+ 1 ,u2R+ 2. pour tout 8z 2C8f1gon pose z0 ='(z)
(a) Montrer que j(jz0+ 1) = ipz+13 z
(b) Véri…er que M(z)du plan M 6=A;jjz0+ 1j= M CM A (c) Déduire que :M A+M B =M C , jjz0+ 1j=jz0j+ 1
(d) Déduire d’aprés ce qui précède tel que =fM 2P8M A+M B =M Cg C 1. Résoudre dansC: ('(z))5 = 1
2. Ecrire les solutions sous la forme exponentielle 3. Montrer que les solutions sont imaginaires purs
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