Exercices : Nombres complexes

ECS1

Exercices : Nombres complexes

Exercice 1. Soitθ∈]0, π[un réel donné. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : 1. z1= 1 +e^iπ3 2. z2= 1 +e^−iθ 3. z3= 1 +e^iθ 4. z4=1−e^iθ

1 +e^iθ 5. z₅= 1 + cosθ+isinθ

1−cosθ−isinθ.

Exercice 2. Soitz1= 1 +ietz2=√ 3−i.

1. Calculer les modules et arguments dez1,z2 etz1z2. 2. En déduire les valeurs exactes decos ₁₂^πetsin ₁₂^π.

Exercice 3. Soitn>2,p∈Zetω∈Ctel que ωⁿ = 1. Calculer les sommes suivantes : 1.

n−1

X

k=0

ω^k 2.

n−1

X

k=0

ω^kp 3.

n−1

X

k=0

n k

ω^k

Exercice 4. Trouver tous les couples de complexes(u, v)qui vérientu²+v²=−1etuv= 1. Exercice 5 (Cosinus d'un nombre complexe). Pourz∈Con pose cos(z) = e^iz+e^−iz

2 1. Résoudre l'équatione^iz= 1 d'inconnuez∈C.

2. En déduire les solutions de l'équationcos(z) = 1d'inconnue z∈C. Exercice 6. Soitx∈R. LinéariserA= cos(x)⁴sin(x)² etB = (cos(x))⁵. Exercice 7. CalculerW =

5

X

k=0

cos

(2k+ 1)π 13

.

Exercice 8. Pour toutn∈N, et pour touta∈R, calculer : S1=

n

X

k=0

n k

cos(ka)

, S2=

n

X

k=0

n k

sin(ka)

.

Exercice 9. Pour toutn∈N, et pour tout(a, b)∈R², calculer :

S=

n

X

k=0

sin(a+kb).

Exercice 10. Pour toutn∈N^∗, et pour toutxréel, calculer Pn(x) =

n

X

k=0

cos(kx) et Tn(x) =

n

X

k=0

sin(kx).

En déduireP10(2π)etT20

π 7

.