Exercices : nombres complexes

ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 22 octobre 2004

Exercices : nombres complexes

Notations alg´ebrique et exponentielle

Exercice 1: Mettre sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants : z1=3 + 6i

3−4i, z2= 1 +i

2−i ²

+1−7i

4 + 3i, z3= 2 + 5i

1−i +2−5i 1 +i. Exercice 2: Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes :

z1= 3

1−i, z2=(1 +i)³

1−i +(1−i)⁴

(1−i)², z3=(√ 6−i√

2)(1 +i)

1−i .

Exercice 3: Soientθ, θ⁰ deux nombres r´eels.

1. Transformeze^iθ+e^iθ0 en factorisant pare^iθ+θ

0

2 sous la formeρe^iθ o`u ρet θsont des r´eels.

2. En d´eduire la forme exponentielle des nombres complexesz1= 1 +e^iπ/3, z2=e^4iπ/3−1 Exercice 4: Soitn∈N^?. Simplifiez les nombres complexes suivants :

z1= 1 +i√ 3 1−i

!ⁿ

, z2= √ 3−1

+i 1 +√ 3ⁿ

+ √ 3−1

−i 1 +√ 3ⁿ

.

Exercice 5: D´emontrez que pour tousuetv dansC,

|u+v|²+|u−v|²= 2 (|u|+|v|).

Racines n^i`emes & Equations polynomiales

Exercice 6: D´eterminez les racines carr´ees de 9 + 40i et les racines quatri`emes de−7−24i.

Exercice 7:

1. Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes u=1 +i√

3 1−i√

3, v= 1−i 1 +i√ 3 2. R´esoudre dansCles ´equationsz⁶=uetz⁴=v.

Exercice 8: R´esoudre dansCles ´equations suivantes 1. z⁵= 1.

2. z⁷= 1 +i√ 3.

3. z⁶−(1 + 2i)z³+ 3(1 +i) = 0.

4. z⁶z¯= 1.

Exercice 9: R´esoudre dansCl’´equation : z²−(2 + 3i)z+ 3i−1 = 0.

Exercice 10 : R´esoudre dansCl’´equation z

z−1 ⁿ

= 1.

Applications `a la trigonom´etrie

Exercice 11 :

1. Pr´esentez sous forme trigonom´etrique les nombres complexesu=1 2(√

6−i√

2) etv= 1−i.

2. En d´eduire une pr´esentation trigonom´etrique deu/v, puis les valeurs exactes de cosπ/12 et sinπ/12.

Exercice^? 12 : Lin´eariser cos²xsin²x, et cos⁵xsinx.

Exercice^? 13 : Soient a, b, r∈Ret n∈N^?. Calculez : R=

n−1

X

k=0

n k

cos(a+kb), S=

n−1

X

k=0

r^kcos(a+kb), T =

n−1

X

k=0

r^ksin(a+kb).

1

Exercices suppl´ ementaires

Notations alg´ebrique et exponentielle

Exercice 14 : Soitz un nombre complexe de module 1, montrez que i¯z−1 z−i =−¯z.

Exercice 15 : Soient aet bdes nombres r´eels.R´esoudre dansCle syt`eme

z+|z| = a+ib z− |z| = a−ib Exercice 16 : Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :

1. z= (1 +itanϕ)², o`u ϕ∈[0, π/2[.

2. z= 1 + cosϕ+isinϕ

1−cosϕ−isinϕ, o`uϕ∈]0,2π[.

3. z= 1 + cosϕ+isinϕ

√1 + sin 2ϕ+i√

1−sin 2ϕ, o`u ϕ∈[0, π/2[.

Exercice 17 : D´eterminez l’ensemble des entiers naurelsn∈Npour lesquels (1 +i)ⁿ ∈R. Exercice 18 : D´eterminez l’´ecriture trigonom´etrique de

e^iπ/6−i

e^iπ/3+ 1, e^iθ+e^2iθ, 1−

√3−i 2

!⁴³

, 1−cosθ−isinθ 1 + cosθ−isinθ.

Exercice 19 : D´emontrez que (∀(z, z⁰)∈C×C^?), |z+z⁰|=|z|+|z⁰| ⇐⇒ ∃λ∈R⁺; z=λz⁰ . Racines n^i`emes

Exercice 20 : D´eterminez les racines carr´ees de 22 +i8√ 3.

Exercice 21 : D´eterminez les racines quatri`emes de 28 + 96i.

Exercice 22 : Soitn≥2. On poseω=e^i2πn. D´emontrez que

n−1

Y

k=0

ω^k= (−1)ⁿ.

Exercice 23 : Soitn∈Nun entier sup´erieur ou ´egal `a 2 etωune racine n<sup>i`eme</sup> de 1 diff´erente de 1 lui-mˆeme.

Calculez les sommes suivantes : 1.

n−1

X

k=0

n k

ω^k.

2.

n−1

X

k=0

ω^kp.

3.

n−1

X

k=0

(k+ 1)ω^k.

4.

n

X

k=1

(2 +ω^k)ⁿ.

Equations

Exercice 24 : Soitn∈N^?. R´esoudre dansCl’´equation (z−1)ⁿ= (z+ 1)ⁿ. On donnera la r´eponse sous forme exponentielle ou trigonom´etrique.

Exercice 25 : R´esoudre dansCl’´equation

z²ⁿ−2zⁿcos(na) + 1 = 0 o`un∈N^? est un entier naturel non nul eta∈Run r´eel.

2

Exercice 26 : R´esoudre dansC

z²+ (3 + 4i)z−1 + 5i= 0 Exercice 27 : R´esoudre dansC

z²(1−z²) = 16 Exercice 28 : R´esoudre dansC

z⁴−i√

2z³−4√

2(i−1)z−8−8i= 0 Indication : on v´erifiera que cette ´equation poss`ede une solution imaginaire pure

Applications `a la trigonom´etrie

Exercice^? 29 : Lin´eariser sin⁴x, cos³xsin⁴xet cos⁴x.

Exercice^? 30 : D´emontrez que pour tous nombres r´eelspetq, 1. cosp+ cosq= 2 cos^p+q₂ ×cos^p−q₂

2. cosp−cosq=−2 sin^p+q₂ ×sin^p−q₂

3. sinp+ sinq= 2 sin^p+q₂ ×cos^p−q₂ 4. sinp−sinq= 2 sin^p−q₂ ×cos^p+q₂ Exercice 31 : Lin´eariser sin⁴xet cos⁴x.

Exercice 32 : Lin´eariser cos²xsin²x, cos³xsin⁴xet cos⁵xsinx.

Exercice 33 : On consid`ere le nombre complexez= 4√ 3 + 4i.

1. D´eterminez en proc´edant de deux mani`eres diff´erentes les racines carr´ees dez on pourra remarquer que4 + 2√

3 = (√ 3 + 1)²

2. Retrouver ainsi les valeurs exactes de cosπ/12 et sinπ/12.

Exercice 34 : Soitn∈Nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On noteω=e^2iπ/n 1. D´emontrez que pour tout nombre complexez∈C,

n−1

Y

k=1

(z−ω^k) =

n−1

X

l=0

z^l

2. En d´eduire que

n−1

Y

k=1

sin kπ n

= n 2ⁿ⁻¹. Exercice 35 : Soitn∈N^? un entier naturel non nul etθ∈]0, π[. Calculez

S=

n

X

k=0

k n

k

sinkθ

Exercice^?? 36 : Soientx∈Retn∈N. Exprimez cosnxet sinnxen fonction des puissances de cosxet sinx.

3