Nombres Complexes : Exercices

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1.I.1 - Chap. 01 Nombres Complexes 1 / 4

Nombres Complexes : Exercices

Exercice 1

Formesalgébriques Écrire sous forme algébrique les complexes suivants :

z1= 1 +i+ 2−4i z2= ¹⁺ⁱ₃ −¹₆+₁₂⁵ⁱ z3= (5−i)(7 + 2i) z4= ²₅−₂ⁱ 1 2+₄ⁱ z₅= 1−i√

2

3 +i√ 2

z₆= 1 +i√ 3²

z₇= (1−2i)³ z₈= _1−2i¹

z₉= ⁵

1−i√

3 z₁₀=_1+2i¹⁺ⁱ z₁₁=¹⁻_3−i²ⁱ z₁₂=Ä_1+i

1−i

ä2

Exercice 2

´ Eemiérqderegrdusniouatp liairénsèmesstyetes

1. R´esoudre les ´equations suivantes (d’inconnuez∈C) :

2z+ 2i=iz (1 +i)z−3 = (2−2i)z+³₂ i(3−i)z−2 = (2i+ 1)z+ (2i+z)i 2. Préciser le domaine de définition des équations suivantes (d’inconnuez∈C) puis les résoudre :

z−i

z+1 = 4i ^z−2_z+i =^z−2i_z+1 −_iz+1^z +_z−i^3z = 3 +i 3. R´ßesoudre les syst`emes suivants d’inconnues complexesz₁ etz₂ :

3z1+z2= 1−7i iz1+ 2z2= 11i

ß 2z1−z2=i

−2z1+ 3iz2=−17

4. R´esoudre les syst`emes suivants d’inconnues complexesaet bet c:







a+b+ 2c= 6−9i a+b= 4 +i 5a−3b=−4 + 5i







a−b+ 2c= 2−i√ 2 a+b+c= 6 2a−b+ 2c= 3

Exercice 3

Affixesdepoints,devecteurs

1. Dans le plan complexe, on consid`ere les pointsA(−2 +i),B(−3−i)etC ¹₂−2i

. D´eterminer l’affixe de D tel queABCD soit un parall´elogramme.

2. On consid`ere les points A ³⁺ⁱ₂

, B 2−₂ⁱ

et C −¹₂−2i

. Tracer la figure, émettre une conjecture et déterminer sa validité.

Exercice 4

On consid`ere le quadrilat`ereABCD avecA,B,C et Dd’affixes :

zA=−1−5i zB = 4−3i zC= 3 + 3i zD=−2 +i 1. V´erifier queABCD est un parall´elogramme.

2. D´eterminer l’affixe du pointC⁰ sym´etrique de Cpar rapport au pointD.

3. D´eterminer l’affixe du pointA⁰ v´erifiant # »

DA⁰=DB# »+DC.# » 4. Quelle est la nature du quadrilat`ereA⁰BC⁰D?

Exercice 5

Conjugué 1. Écrire sous forme algébrique les complexes suivants :

z1= 1 +i+ 3 + 3i z2= ¹⁺²ⁱ₅ −²₅+₁₀³ⁱ z3= 5−i6−3i z4= ²₇−³ⁱ₇ 2−²ⁱ₇ z5=√

5 +i√

3 1 +i√ 3

z6= ¹₃−2i³ z7= ¹²⁻ⁱ

2+₃ⁱ z8= ¹⁺ⁱ

4−2i

2. R´esoudre les ´equations suivantes d’inconnuesz∈C: iz−2z=i (z−4i+ 2)(z+ 2i) = 0 _z−2−2i^z+i =²⁻ⁱ₃

St´ephanePasserat– TSI1 – Lyc´ee LouisVincent

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Exercice 6

Partiesr´eelle,imaginaire Pour toutz∈C^∗, on pose :

Z= 3−2i z

1. (a) On notex+iyla forme algébrique dez. Déterminer les parties réelle et imaginaire deZ en fonction dexety.

(b) Déterminer et représenter dans le plan complexe les ensemblesD1 et D2 tels queZ soit un réel, un imaginaire pur.

2. Mˆemes questions que 1. avec Z = (3 +i)z+ 2i et Z = ^z−2i_z−1 (rechercher uniquement D1 dans ce dernier cas).

Exercice 7

Module

1. Calculer le module des nombres complexes suivants : z₁= 5−2i z₂= ¹⁺³ⁱ₄ z₃=

√ 2 2 −ⁱ

√ 2

2 z₄= 1−i√ 3√

3 +i z₅= ¹⁻ⁱ

√

√ 3 6+√

2+i(^√⁶⁻^√²) 2. D´emontrer que si|z|= 1alorsz= ¹_z.

Exercice 8 – Identit´ e du parall´ elogramme

1. Démontrer l’égalité ci-dessous appeléeidentité du parallélogramme:

∀(z, z⁰)∈C², |z+z⁰|²+|z−z⁰|²= 2 |z|²+|z⁰|²

2. Quel rapport avec un parall´elogramme ?

Exercice 9

Montrer que, pour tout(z, z⁰)∈C² :

|z z⁰+ 1|²+|z−z⁰|²= 1 +|z|²

1 +|z⁰|²

|z z⁰−1|²− |z−z⁰|²= 1− |z|²

1− |z⁰|²

Exercice 10

Dans cet exercice, a,betz=x+iy d´esignent trois complexes quelconques.

1. D´emontrer que2Rez≤1 +|z|².

2. (a) En d´eduire que|a+b|²≤ 1 +|a|²

1 +|b|² (b) Étudier le cas d’égalité.

Exercice 11

Module,argument

1. (a) Calculer le module et un argument des nombres suivants : z1=√

3 +i z2= (1−i)(1 +i√

3) z3=¹⁺ⁱ_i z4= ⁻

√3+i 3−3i

(b) En d´eduire le module et un argument dez₁²,z1z2, ^z_z¹

3, _z^z¹

42.

2. Soitzetz⁰des nombres complexes non nuls d’arguments ^π₄ et ^π₆.nd´esigne un entier naturel. Calculer les arguments des nombres complexes suivants :

zz⁰ _z^z02

z

z⁰ zⁿ Ä

z z⁰

än

3. (a) Calculer le module et un argument dez= ¹⁺ⁱ

√3 1+i . (b) En d´eduire les valeurs exactes decos₁₂^π etsin₁₂^π.

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Exercice 12

Exponentielle d’unimaginairepur

1. (a) ´Ecrire les nombres suivants sous la forme d’une exponentielle d’imaginaire pur : z1=

√3−i

2 z2=−i z3= ¹⁺ⁱ^√

2 z4=−³⁺⁴ⁱ₅ (b) Mˆeme question :

z1=eⁱ^π⁵ z2=−ieⁱ^π³ z3= ^eⁱ

π 6

eⁱ^π3 z4= eⁱ¹⁰^π¹⁷ 2. (a) D´eterminer les valeurs exactes decos^7π₁₂ et sin^7π₁₂ `a l’aide de eⁱ^π³ eⁱ^π⁴.

(b) Retrouver les valeurs exactes decos₁₂^π etsin₁₂^π.

Exercice 13

Exponentielle d’unimaginairepur

1. Soitθ∈R, d´emontrer que :

1−eîθ=−2isinθ 2eîθ² 2. (a) Démontrer que :

Ä

1−e^2iπ¹¹ä Ä

e¹¹^iπ +e^3iπ¹¹ +e^5iπ¹¹ +e^7iπ¹¹ +e^9iπ¹¹ä

=e¹¹^iπ Ä

1−e^10iπ¹¹ ä (b) En d´eduire que :

e^iπ¹¹ +e^3iπ¹¹ +e^5iπ¹¹ +e^7iπ¹¹ +e^9iπ¹¹ =e^5iπ¹¹ sin^5π₁₁ sin₁₁^π

(c) En d´eduire enfin que :

cos π

11 + cos3π

11+ cos5π

11 + cos7π

11 + cos9π 11 = 1

2

Exercice 14

Lin´earisation etfactorisation 1. Soitx∈Retp∈J2,5K. Lin´eariser cos^pxetsin^px.

2. Soitx∈R. Lin´earisercos²xsinxde deux fa¸cons diff´erentes.

3. (a) Soitx∈Retp∈J2,5K. Factoriser cospxet sinpx.

(b) En d´eduire les valeurs exactes decos^π₈ etsin^π₈.

Exercice 15

Racinesn-i`emes

1. (a) Déterminer les racines quatrièmes de l’unité.

(b) Simplifier la somme i²⁰¹⁰+i²⁰¹¹+i²⁰¹¹+i²⁰¹². 2. Calculer1 +j+j² et j²⁰¹⁰+j²⁰¹¹+j²⁰¹²

3. D´eterminer les racines carr´ees complexes des nombres suivants :

z₁= 5 z₂=−4 z₃= 3i z₄=−12i z₅= 4e^iπ⁶

z₆= 3eîπ⁴ z₇= 1 +i z₈=−5−12i z₉=−³₄+i z₁₀=₁₂¹ −₉ⁱ 4. Résoudre dansCles équationsz⁴= 28 + 96i etz⁴+₁₆⁷ +³ⁱ₂ = 0.

Exercice 16 – Valeur exacte de cos

^2π₅

Racinesn-i`emes

On note x= ^2π₅ etω=e^ix.

1. Déterminer les racines cinquièmes de l’unité (et représenter leurs images).

2. Calculer(1−ω)(1 +ω+ω²+ω³+ω⁴)et en d´eduire que : 1 +ω+w+ω²+ω²= 0 3. Factoriser cos 2xet d´emontrer que4 cos²x+ 2 cosx−1 = 0.

4. En d´eduire la valeur exacte decosx.

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Exercice 17

´ Equation duseconddegr´e

1. Résoudre dansCles deux équations suivantes (θdésignant un réel quelconque) : 1

z = 1−2z z⁴+ 7z²+ 12 = 0 z²−2zcosθ+ 1 = 0 2. Mˆeme question :

3z²−(3 + 2i)z+ 7 +i= 0

Exercice 18

Exponentiellecomplexe

1. (a) Soit(z, z⁰)∈C², d´emontrer que :

e^z+e^z⁰ =e^z+z

0 2

e^z−z

0

2 +e⁻^z−z

0 2

(b) En déduire le module et un argument de1 +eîθpour toutθ∈R. 2. Résoudre les équations suivantes d’inconnuez∈C:

e^z=i e^z= 1 +i

Exercice 19

Nombrescomplexesetg´eom´etrieplane

On se place dans le plan complexe. `A tout pointM d’affixezdistincte de i, on associe le pointM⁰ d’affixe : z⁰= z+ 2

iz+ 1 1. Interpréter géométriquement le module dez⁰.

2. Déterminer géométriquement l’ensembleDdes pointsM tels que|z⁰|= 1.

Exercice 20

On se place dans le plan complexe. SoientA(−1)etB(1)et E l’ensemble des points distincts deO,Aet B.

A tout point` M ∈ E d’affixez on associe les pointsN d’affixez² etM d’affixez³. 1. D´emontrer que les pointsM,N et P sont deux `a deux distincts.

2. D´emontrer queM N P est un triangle rectangle enP si et seulement si : Å

z+1 2

ã Å z+1

2 ã

= 1 4

3. En d´eduire l’ensemble des pointsM tels que le triangleM N P est rectangle.

Exercice 21

On se place dans le plan complexe.

1. D´eterminer les points d’affixez6= 0telle que :

z²= 2iz

2. En notant A, B et C les points images des affixes obtenues précédemment, démontrer que ABC est

´

equilatéral et déterminer le centre de gravité deA,B etC.

Exercice 22

On se place dans le plan complexe et on consid`ere les pointsA(4√

3−4i)et B(4√ 3 + 4i).

1. Quelle est la nature du triangleOAB? 2. On noteC(−√

3 +i)etD son image par la rotation de centreO et d’angle−^π₃. Calculer l’affixe deD.

3. On appelleGle barycentre de(O;−1),(D; 1)et (B; 1). D´emontrer queC,D etGsont align´es.

4. D´emontrer queOBGD est un parall´elogramme. Que dire du triangleAGC?