Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚4
Nombres complexes et trigonom´ etrie (partie 2)
Exercice 36 (Forme trigonom´etrique)
1. Exprimer sous forme trigonom´etrique les nombres complexes suivants : z1=√
3−i et z2= 1 +i 1−i√
3. 2. Soitθ∈R. Exprimer
zθ= 1 + cos(θ) +isin(θ) sous forme trigonom´etrique.
Exercice 37 (Deux m´ethodes pour calculer une puissance) Soitn∈N. On note
zn= (1 +i)n. Calculer la forme alg´ebrique dezn
(a) par la formule du binˆome de Newton ; (b) par la formule de Moivre ;
et en d´eduire deux ´egalit´es.
Exercice 38 (R´esolution d’une ´equation mettant en jeu des modules et forme trigonom´etrique) R´esoudre le syst`eme d’´equations
|z|= 1 z
=|1 +z|
d’inconnuez∈Cet repr´esenter graphiquement les solutions.
Exercice 39 ( ´Equations du type acos(x) +bsin(x) =c)
1. Soient (a, b)∈R2 tels queab6= 0 et soitx∈R. Justifier qu’il existe r∈R>0 et ϕ∈Rtels que : acos(x) +bsin(x) =rcos(x+ϕ).
2. R´esoudre dansRl’´equation √
3 cos(x) + sin(x) = 2.
3. R´esoudre dansRl’´equation
cos(x) + 2 sin(x) = 3.
Exercice 40 (D’une somme `a un produit et r´eciproquement) 1. Soient (p, q)∈R2. Exprimer
cos(p) + cos(q) et sin(p) + sin(q) en fonction des lignes trigonom´etriques de p+q
2 et p−q 2 .
1
2. Soient (a, b)∈R2. Exprimer
cos(a) cos(b) et sin(a) sin(b) en fonction des lignes trigonom´etriques de a+bet a−b.
Exercice 41 (Lin´earisation d’une expression trigonom´etrique et calcul d’une primitive) 1. Soit la fonction f:R→R; x7→cos3(x).
(a) Soit x∈R. Lin´eariserf(x).
(b) D´eterminer une primitive de la fonctionf surR. 2. Soit la fonction g:R→R; x7→sin4(x).
(a) Soit x∈R. Lin´eariserg(x).
(b) D´eterminer une primitive de la fonctiong surR. 3. Soit la fonction h:R→R; x7→cos3(x) sin5(x).
(a) Soit x∈R. Lin´eariserh(x).
(b) D´eterminer une primitive de la fonctionhsurR.
Exercice 42 (Quelques sommes trigonom´etriques) 1. Soitn∈N≥2.
(a) On noteωn le nombre complexe d´efini parωn=e2iπn .Calculer la somme
sn=
n−1
X
k=0
ωnk.
(b) En d´eduire la valeur des sommes
C(n) =
n−1
X
k=0
cos 2kπ
n
et S(n) =
n−1
X
k=0
sin 2kπ
n
.
2. Soitn∈N.
(a) Soit x∈R. Calculer les sommes C1(n, x) =
n
X
k=0
cos(kx) et S1(n, x) =
n
X
k=0
sin(kx).
(b) D´eduire de la question 2.(a) les r´esultats de la question 1.(b).
(c) Soit x∈R. Calculer les sommes C2(n, x) =
n
X
k=0
n k
cos(kx) et S2(n, x) =
n
X
k=0
n k
sin(kx).
3. Soitn∈N.
(a) Soit (x, y)∈R2. Calculer les sommes C1(n, x, y) =
n
X
k=0
cos(kx+y) et S1(n, x, y) =
n
X
k=0
sin(kx+y).
(b) Soit (x, y)∈R2. Calculer les sommes C2(n, x, y) =
n
X
k=0
n k
cos(kx+y) et S2(n, x, y) =
n
X
k=0
n k
sin(kx+y).
(c) Retrouver les r´esultats des questions 2.(a) et 2.(c), `a l’aide des questions 3.(a) et 3.(b).
2
Exercice 43 (Racines n-i`emes de l’unit´e)
1. D´eterminer les racines cinqui`emes de 1 et les repr´esenter graphiquement.
2. D´eterminer les racines quatri`emes deiet les repr´esenter graphiquement.
3. D´eterminer les racines troisi`emes de √ 3−i 1−i et les repr´esenter graphiquement.
Exercice 44 ( ´Equations du second degr´e `a coefficients complexes) 1. R´esoudre dansCl’´equation
(E1) : z2+ (1−2i)z+ 1 + 5i= 0.
2. R´esoudre dansCl’´equation
(E2) : z2+ 2iz−2−i= 0.
3. Soitθ un nombre r´eel appartenant `a ]0, π[.
(a) Justifier que l’´equation
(E3) : z2−2θ+1cos(θ)z+ 22θ= 0 admet, dansC, deux solutions distinctes.
(b) Exprimer les deux racines de (E3) sous forme trigonom´etrique.
(c) On fixe un rep`ere orthonorm´e du plan (O;−→u ,−→v) et on consid`ere les pointsA et B dont les affixes sont les solutions de (E). D´eterminer θde mani`ere `a ce queOAB soit un triangle ´equilat´eral.
Exercice 45 (Relations entre les coefficients et les racines d’un polynˆome de degr´e 2) 1. R´esoudre le syst`eme
(S1) :
a+b = 19 ab = 84 d’inconnue (a, b)∈C2.
2. R´esoudre le syst`eme
(S2) :
a3+b3 = 1 (ab)3 = 1 +i d’inconnue (a, b)∈C2.
Exercice 46 (R´esolution d’une ´equation polynomiale de degr´e 3) R´esoudre dansCl’´equation
(E) : z3−6z2+ (10 + 3i)z−3−9i= 0 sachant qu’elle admet une solution r´eelle.
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