le 2 F´evrier 2011 UTBM MT20
Final automne 2010
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (6 points)
I - R´esoudre l’´equation diff´erentielle :
(E1) (1 +x)y′−y= 1 +x.
Sur quel intervalle ces solutions sont-elles d´efinies ? II - Resoudre l’´equation diff´erentielle :
(E2) y′′+ 2y′+y= 2 cos(x).
Sur quel intervalle ces solutions sont-elles d´efinies ?
Exercice 2 (4 points)
Soit f :R2−→R d´efinie par
f(x, y) =√
x.ln(y−x2).
1. D´eterminer et repr´esenter graphiquement l’ensemble de d´efinition def. 2. Calculer les 4 d´eriv´ees secondes def.
TOURNER LA PAGE S.V.P.
1
Exercice 3 (10 points) On poseΩ =R2/{(0,0)}. Soit f :R2→R
{
f(x, y) = xx42+y+y42 si (x, y)∈Ω f(0,0) = 0
1) Montrer quef est continue sur R2.
2) Montrer quef est diff´erentiable surΩ et calculer sa diff´erentielle.
3) Calculer, si elles existent, les d´eriv´ees partielles ∂f∂x(0,0) et ∂f∂y(0,0).
4) Les d´eriv´ees partielles sont-elles continue ? 5) Justifier, sans gros calcul, que
∀(x, y)∈R2, ∂2f
∂x ∂y(x, y) = ∂2f
∂y ∂x(x, y).
2
