le 23 Janvier 2018 UTBM MT20
Final automne 2017
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 - 8 points
Les s´eries suivvantes sont-elles convergentes ? Bien justifier.
1) P
un avec un= nn!n. 2) P
vn avec vn=n.ln(1 +n12).
3) P
wn avec wn=n.(ln(1 +n12))n. 4) P
xn avec xn= (−1)n
√n+1 n .
Exercice 2 - 6 points
Soit la fonction f d´efinie par : (
f(x, y) = x2y+y4 2 si (x, y)6= (0,0) f(x, y) = 0 si (x, y) = (0,0) 1 - f est-elle continue sur R2?
2 - Quelles sont ses d´eriv´ees partielles ? Sont-elles continues ? 3 - Montrer que
δ2f
δxδy = δ2f δyδx.
Exercice 3 - 4 points
Soit f la fonction de deux variable r´eelles d´efinie par f(x, y) = (x.y−1).yx . 1. D´eterminer et repr´esenter graphiquement l’ensemble de d´efinition def. 2. f admet-elle une limite en(0,0)?
Exercice 4 - 2 points
Soit f la fonction de deux variable r´eelles d´efinie par f(x, y) =y2+x2−y−x.
D´eterminer les extremums eventuels de f.
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