le 4 F´evrier 2014 UTBM MT20
Final automne 2013
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 - 7 points
R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :
1) Equation diff´erentielle du premier ordre `a variables s´epar´ees :
(E1) y0 = 1 2xy avec x >0 et y >0.
2) Equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre :
(E2) xy0+y=ex.
3) Equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre :
(E3)y” +y0+y= 3x2+ 8x+ 9.
D´eterminer la solution particuli`ere g de l’´equation (E3)telle que g(0) = 0 et g0(0) = 0.
Exercice 2 (3 points)
D´eterminer une ´equation diff´erentielle admettant
{x+C1.ex+C2.e2x, C1, C2∈R} comme ensemble de solutions. Expliquer.
TOURNER LA PAGE S.V.P.
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Exercice 3 (4 points)
Soit f la fonction de deux variable r´eelles d´efinie par f(x, y) = (x.y−1).yx . 1. D´eterminer et repr´esenter graphiquement l’ensemble de d´efinition def. 2. f admet-elle une limite en(0,0)?
Exercice 4 (6 points)
Soit la fonction f d´efinie par : (
f(x, y) = x2x+y5 2 si (x, y)6= (0,0) f(x, y) = 0 si (x, y) = (0,0) 1 - f est-elle continue sur R2?
2 - Quelles sont ses d´eriv´ees partielles ?
3 - Les d´eriv´ees partielles sont-elles continues sur R2?
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