17 janvier 2014, durée 2 heures UTBM
Final MT26, Automne 2013
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l’évaluation de la copie.
Le barême, donné à titre indicatif, est susceptible de modification.
Une feuille de notes A4 recto-verso est autorisée pour l’épreuve. Les calculatrices sont interdites.
Section A
Exercice 1 : Vrai ou Faux ( 4 points )
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.
1. Les sériesP
anzn etP
(−1)nanzn ont même rayon de convergence.
2. Les sériesP
anzn etP
(−1)nanzn ont même domaine de convergence.
3. Si la sérieP
anzn a un rayon de convergence infini, alors elle converge uniformément sur R.
4. SiP
anxn a un rayon de convergence finiR >0, alors sa somme admet une limite infinie en(−R)+ ou enR−.
Exercice 2 : Calcul de rayon de convergence ( 3 points ) Trouver le rayon de convergence de la série entièrePanzn :
1. an→`6= 0 lorsquen→ ∞ 2. an= nn!n.
3. an= (lnn)−lnn.
Exercice 3 : Séries Entières ( 3 points )
Soitf définie sur]−1,1[par
f(x) = arcsinx
√1−x2
1. Justifier quef est développable en série entière sur]−1,1[.
Remarque : on admet, pour la suite de l’exercice, que f est solution de l’équation diffé- rentielle :
(1−x2)y0−xy= 1.
2. Déduire de la remarque précédente le développement en série entière def sur]−1,1[.
Rappel :la fonctionx7→arcsinxest dérivable sur]−1,1[, et sa dérivée est la fonctionx7→ √ 1
1−x2.
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17 janvier 2014, durée 2 heures UTBM
Section B - À rendre sur une copie séparée
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Première partie
On considère la fonction f :R−→R, 2π−périodique, impaire, et telle que
∀t∈]0, π[, f(t) = 1 et f(0) =f(π) = 0
1. Représenter graphiquement la fonctionf dans un repère orthogonal du plan.
2. Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de la fonctionf, notésan et bn. 3. a. Démontrer que pour tout réelt, f(t) = 4
π
+∞
X
k=0
sin (2k+ 1)t 2k+ 1 On énoncera précisément le théorème utilisé.
b. En déduire la somme
+∞
X
k=0
(−1)k 2k+ 1
Deuxième partie
Pour tout entier natureln, on note Sn la somme partielle de la sérieX(−1)k
2k+ 1 , c’est-à-dire
∀n∈N, Sn =
n
X
k=0
(−1)k 2k+ 1
D’après la première partie, la suite(Sn)n∈Nconverge vers π4 et fournit ainsi une approximation deπ.
On appelle «reste d’ordren» de la sérieP(−1)k
2k+1, le nombre réel Rn=
+∞
X
k=n+1
(−1)k 2k+ 1 . 1. a. Justifier que, pour tout entier natureln, |π−4Sn|6 4
2n+ 3
b. Déterminer un entier naturelptel que 4Sp soit une approximation deπà 0,1 près.
2. L’objectif de cette dernière question est d’obtenir un équivalent deRn, reste d’une série alternée convergente.
a. Démontrer que, pour tout entier natureln,
2Rn−(−1)n+1 2n+ 3 =
+∞
X
k=n+1
(−1)k 1
2k+ 1− 1 2k+ 3
b. Justifier que, pour tout entier natureln,
+∞
X
k=n+1
(−1)k 1
2k+ 1− 1 2k+ 3
6 2
(2n+ 3)(2n+ 5) c. Déterminer un équivalent simple de Rn lorsque l’entierntend vers+∞.
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