25 juin 2009, durée 2 heures UTBM
Final MT21, Printemps 2009
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l'évaluation de la copie.
Le barême, donné à titre indicatif, est susceptible de modication. Une feuille de notes A4 recto-verso est autorisée pour l'épreuve. L'usage des calculatrices est interdite.
Chaque exercice doit être rédigé sur une feuille diérente.
Exercice 1 Intégrales ( 6 points )
SoitI= Z x=1
x=0
Z y=1 y=0
x
(1 +xy)(1 +x2) dx dy. 1. SoitJ =
Z x=1 x=0
Z y=1 y=0
y
(1 +xy)(1 +y2) dx dy. a. CalculerI+J.
Indication : on pourra développer(1 +xy)(x+y). b. Montrer queI=J.
c. En déduire la valeur de I. 2. CalculerK=
Z 1 0
ln(1 +x) 1 +x2 dx.
Indication : on cherchera à appliquer le théorème de Fubini.
Exercice 2 Courbe paramétrée ( 6 points )
Étudier la courbe dénie par
( x(t) = cos2t+ ln(|sint|) y(t) = 1
2sin(2t) . En particulier, on montrera comment réduire l'intervalle d'étude à
0,π2, on étudiera le point singulier, et on tracera une allure de la courbe.
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Exercice 3 Le problème ( 8 points )
SoitB= (i, j, k)la base canonique deR3. On considère les matrices :
A=
3 −1 0
1 6 1
−3 −8 0
I=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
O=
0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
On note :
• f l'endomorphisme de R3 dont la matrice relativement à BestA.
• Idl'endomorphisme deR3 dont la matrice relativement àB estI.
• hl'endomorphisme deR3 déni parh=f−3 Id.
• N la matrice dehrelativement àB. 1. a. Vérier queN=
0 −1 0
1 3 1
−3 −8 −3
. En déduire queN26=O, et queN3=O. b. Montrer que si λest valeur propre deN, alorsλ= 0. Établir alors que 0est la seule
valeur propre deh.
c. En déduire que f admet3 comme seule valeur propre.
d. Déterminer une base, et la dimension du sous-espace propre def associé à la valeur propre 3.
e. L'endomorphismef est-il diagonalisable ? Est-il bijectif ? 2. On considère les vecteurs de R3:
u1= (1,−1,1) u2=h(u1) u3=h(u2).
a. Calculeru2et u3. Vérier queh(u3) = (0,0,0).
b. Montrer que(u1, u2, u3)est une base deR3, que l'on noteraB0. c. Déterminer la matriceN0 dehrelativement à la baseB0. d. Montrer que la matrice de f relativement àB0 est 3I+N0. 3. On considère la matrice P=
1 1 1
−1 −1 0
1 2 −1
.
a. À l'aide des questions précédentes, montrer queP est inversible, et que A=P(3I+N0)P−1.
b. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à2.
• Montrer queAn =P(3I+N0)nP−1.
• Justier que (N0)3=O.
• En déduire qu'il existe trois réelsan,bn, etcn tels que : (3I+N0)n=anI+bnN0+cn(N0)2.
• Montrer queAn =anI+bnN+cnN2.
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