Université Pierre et Marie Curie - LM223 - Année 2013-2014
Examen Final - 1ère Session
Mercredi 8 Janvier 2014 Durée : 2 heures
L’usage d’appareils électroniques et de documents est formellement interdit. Le soin de la copie et la clarté de la rédaction seront appréciés lors de l’évaluation. Le barème est donné à titre indicatif et pourrait être modifié. La note finale sera sur 75. LE SUJET EST RECTO VERSO.
Questions.(15 points)
1. SoitE un espace vectoriel de baseB. Donner la définition de “base duale” de B? 2. Soitq une forme quadratique sur un espaceE. Comment s’appelle l’ensemble suivant
{x∈E|q(x) = 0}?
Est-ce un sous espace vectoriel de E?
3. Soit q : R3 → R une forme quadratique. Dans chacun des cas suivants donner une expression possible pourq :
(a) q est définie positive,
(b) q est positive mais pas définie, (c) q est définie mais pas dégénérée, (d) q est dégénérée.
Exercice 1 (18 points)
Diagonaliser la matrice suivante dans une base orthonormée de R3 (c’est à dire trouver une matrice diagonaleD et une matrice orthogonaleP telles queP−1AP =D).
A=
4 2 −2
2 1 −1
−2 −1 1
.
Exercice 2 (18 points)
On considèreE =R2[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 vus comme fonctions polynomiales surR. On définit une application< , >deE×E dansRpar
< P, Q >=
Z 1
−1
t2P(t)Q(t)dt
pour tout P, Q∈E.
1. Expliquer brièvement pourquoi < , >est un produit scalaire.
2. Quelle est la dimension de {X}⊥? Donner une base de {X}⊥.
3. Par la méthode de Gram-Schmidt, orthonormaliser la base{1, X, X2}pour < , >.
Exercice 3 (24 points)
On considère un espace vectoriel réel E de dimension 4 et B une base de E. On définit une forme quadratiqueq :E→Rpar
q(x) :=x1x2+x1x3+x2x3−x2x4−x3x4
pour tout x∈E de coordonnées(x1, x2, x3, x4) dansB.
1. Écrire la matrice de q dansB.
2. Écrireq comme combinaison de carrés de formes linéaires, linéairement indépendantes.
3. Quelle est la signature deq?
4. La formeq est-elle dégénérée ? Est-elle définie ? Est-elle positive ? 5. Quelle est la dimension du noyau N(q)?
6. On suppose ici queE =R4 et que Best la base canonique de R4. (a) Déterminer une base deN(q).
(b) Trouver deux vecteurs non proportionnels dans le cône d’isotropie C(q) qui ne soient pas dans le noyauN(q).
7. On suppose ici queE =R3[X]et que B= (1, X, X2, X3) est la base canonique deE. (a) Donner un élément de E q-isotrope non nul.
(b) On considère le polynôme P = (1 +X)2. Que vaut q(P)? (c) Donner un polynôme non nul orthogonal àP.
8. On suppose ici que E =M2(R) (l’espace des matrices réelles de taille 2×2) et que B est la base canonique de E.
(a) Donner une matrice non nulle dansN(q).
(b) Donner deux matrices A et B de E, chacune q-isotrope mais qui ne soient pas orthogonales entre elles.
