22 janvier 2008, durée 2 heures UTBM
Final Automne 2007
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l'évaluation de la copie.
Le barême, donné à titre indicatif, est susceptible de modication. Une feuille de notes A4 recto-verso est autorisée pour l'épreuve. Les calculatrices sont interdites.
Exercice 1 Extrema d'une fonction ( 7 points )
Pour tout réela∈R\{0,−12}, on considère la fonction fa :
R×R −→ R (x, y) −→ 1 +y+xy+ax2
ey . 1. (a) Calculer les dérivées partielles premières defa.
(b) Montrer que si(x, y)est un point critique (c'est-à-dire un couple deR×Rpour lequel fa est susceptible de présenter un extremum local), alors−ax2+ (1−2a)x+ 2 = 0. (c) En déduire que fa possède deux points critiques, qui sont(−2,4a)et 1
a,−2. 2. Calculer les dérivées partielles secondes defa.
3. (a) Calculer la matrice Hessienne de fa pour le point critique (−2,4a), et donner une condition surapour ce point soit un extremum local defa. Préciser alors si c'est un maximum ou un minimum, et donner la valeur defa en ce point.
(b) Même question que la précédente pour le point critique 1 a,−2.
Exercice 2 Équations diérentielles ( 6 points )
On se propose d'intégrer sur l'intervalle]0,+∞[l'équation diérentielle : (E) y0(x)−y(x)
x −y(x)2=−9x2.
1. Déterminera∈]0,+∞[tel quey0=ax soit une solution particulière de(E). 2. Montrer que le changement de fonction inconnue déni pary(x) =y0(x)− 1
z(x) transforme l'équation (E)en l'équation diérentielle :
(E0) z0(x) +
6x+ 1 x
z(x) = 1.
3. Dans cette question, on cherche à résoudre(E0)sur]0,+∞[.
(a) Montrer que la solution générale de l'équation homogène(Eh0)associée à(E0)est :
zh(x) =k×e−3x2
x , oùk∈R.
(b) Chercher une solution particulière z0 de (E0) par la méthode de variation de la constante.
(c) Donner la solution générale de(E0).
4. Donner toutes les solutions de(E)dénies sur]0,+∞[.
MT12 Automne2007 page 1 Tourner la page S.V.P.
22 janvier 2008, durée 2 heures UTBM
Exercice 3 Espaces vectoriels ( 9 points )
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On noteE l'espace vectoriel Rn, et Idl'application identité deE. L'objet de cet exercice est l'étude des endomorphismesf deE vériant l'équation (∗) :f ◦f = 4 Id.
Les deux parties sont dans une large mesure indépendantes entre elles.
A. Étude d'un cas particulier
Soitf l'endomorphisme deR2dont la matrice dans la base canonique est :A=√ 2
1 1
1 −1
. Soitule vecteur deR2 déni paru=
√
2−2
√2
.
1. Montrer quef ◦f = 4 Id, oùIddésigne l'application identité de R2. 2. On noteF = ker(f−2 Id), etG=Im(f −2 Id).
(a) Donner une base deF, et en déduire la dimension deG. (b) Vérier queGest engendré par le vecteuru.
(c) Vérier que Gest le sous-espace propre def associé à la valeur propre -2.
3. Montrer quef est diagonalisable, et préciser ses valeurs propres.
4. Donner la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres.
B. Étude du cas général
On se place désormais dans le cas où nest supérieur à 2, et on considère un endomorphisme f deE vériant(∗) :f◦f = 4 Id.
1. (a) Justier que les seules valeurs propres possibles def sont 2 et−2. (Penser à utiliser la relation(∗)).
(b) Vérier que2 Idet −2 Idsont solutions de(∗).
On suppose dans la suite de l'exercice que f 6= ±2 Id, et on note F = ker(f −2 Id) et G=Im(f−2 Id).
2. (a) Soitx∈E. Montrer que(f(x)−2x)∈ker(f+ 2 Id), et que (f(x) + 2x)∈F. (b) En déduire queG⊂ker(f+ 2 Id), et queIm(f+ 2 Id)⊂F.
(c) Montrer que 2 et −2 sont bien valeurs propres de f (c'est-à-dire, montrer que les sous-espaces propres associés à 2 et à−2 ne sont pas réduits à{0E})..
3. Soitx∈ker(f+ 2 Id).
(a) Exprimer(f −2 Id)(x)en fonction dexuniquement.
(b) En déduire quex∈G, puis queG= ker(f+ 2 Id). (c) Montrer quef est diagonalisable.
MT12 Automne2007 page 2
