Le22Janvier2008, durée2heures FINAL
FINAL
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l'attribution de la note.
Le barème est donné à titre indicatif. Une feuille A4 recto-verso manuscrite est autorisée pour l'épreuve. Les calculatrices sont interdites.
UTILISER UNE COPIE PAR EXERCICE
Exercice 1 suite récurrente ( 5 + 2points )
On considère f : [a, b]→[a, b] une application réelle continue. Soit(un)la suite dénie par récurrence par
un+1=f(un) u0∈[a, b]
1. Montrer que(un)est bornée.
2. On suppose que f est croissante. Montrer par récurrence que si u0 < f(u0)alors(un)est croissante. En déduire que la suite converge vers un réelαsolution def(x) =x.
3. Que se passe-t-il sif est croissante et u0> f(u0)? 4. Application : montrer que la suite dénie par
un+1=√
3 +un
u0= 1 est convergente et déterminer sa limite.
5. [points bonus] Si f est décroissante montrer que f ◦f est croissante. En déduire alors que(u2n)et (u2n+1)convergent.
Exercice 2 D.L. et fonction réciproque ( 7 points )
Soitf :R→Rla fonction dénie parf(x) = (x2+ 1) arctan(x).
1. Montrer quef est bijective.
2. Donner le tableau de variation def en précisant les limites en±∞.
3. Calculer un D.L. de f en0 à l'ordre3. En déduire la nature du point0.
4. Soitg=f−1
a. Que vautg(0)?
b. Pourquoigest-elle dérivable ? Calculerg′(0). En déduire l'équation de la tangente en 0 à la courbeCg représentative deg.
c. On admet queg′′ etg′′′ existent. Démontrer sans calculs queg′′(0) = 0et g′′′(0)60.
[indication : on pourra esquisser les courbes représentativesCf et Cg au voisinage de 0].
5. On propose de déterminer par le calcul le D.L. deg=f−1en0à l'ordre3, on note ce D.L.
g(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+x3ǫ(x).
a. Montrer quea0= 0.
b. Calculer le D.L. en 0à l'ordre3def◦g en fonction des coecientsa1, a2, a3. c. Utiliser alors l'égalitéf(g(x)) =xpour identier les coecientsa1,a2 a3.
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Exercice 3 Théorème de Darboux ( 9points )
À la question 2 de cet exercice on vous fait démontrer le théorème de Darboux : si f est une fonction dérivable sur I alors la fonction f′ vérie le théorème des valeurs intermédiaires sur I. Ce résultat pourra être admis à la question 3.
1. Soit
f :
[−1; 1] → R
x 7→
x2sin(x1) si x6= 0
0 si x= 0
a. Montrer quef est continue et dérivable sur[−1; 1]. Calculerf′(0).
b. Montrer que
h:
[−1; 1] → R
x 7→
2xsin(1x)−cos(1x) si x6= 0
0 si x= 0
n'est pas continue.
2. Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI ⊂R. On considère a < b, deux éléments deI, tels que f′(a)< f′(b)et soity un réel tel quef′(a)< y < f′(b).
a. Montrer que la fonctiongdénie sur[a, b]parg(x) =f(x)−xyest dérivable. Calculer g′.
b. Quel théorème du cours permet d'armer que la fonctiong admet un minimum sur [a, b]?
c. Montrer queg′(a)<0etg′(b)>0.
d. Démontrer que le minimum degn'est pas atteint ena. [indication : on pourra raisonner par l'absurde puis calculerlimx→ag(x)−g(a)
x−a ]. De même démontrer que le minimum de gn'est pas atteint enb.
e. Déduire de ce qui précède qu'il existec∈]a, b[tel quef′(c) =y. Que signie ce dernier résultat pourf′?
f. Dans la démonstration précédente on suppose f′(a)< f′(b). Sans refaire les calculs expliquer, en donnant les étapes, comment démontrer que f′ vérie le théorème des valeurs intermédiaires sur[a, b]sif′(a)> f′(b).
3. Montrer que la fonctionhde la question 1 vérie le théorème des valeurs intermédiaires.
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