20 janvier 2017, durée 2 heures UTBM
Final MT26, Automne 2016
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l’évaluation de la copie.
Le barême, donné à titre indicatif, est susceptible de modification.
Aucun document n’est autorisé pour l’épreuve. Les calculatrices sont interdites.
Les deux parties sont à rédiger sur des copies différentes.
Exercice 1 : Séries entières ( 5 points )
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière P√ n xn. 2. On définit la fonctionf sur]−1,1[en posant ∀x∈]−1,1[, f(x) =
+∞
X
n=1
√n xn.
Montrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0,1[.
3. a. Démontrer que
∀x∈]−1, 1[, (1−x)f(x) =
+∞
X
n=1
√n−√ n−1
xn
b. On pose ∀n∈N∗, ∀x∈[−1,0], un(x) = √ n−√
n−1 xn. Vérifier que ∀x∈[−1,0], ∀n∈N∗, un(x) = (−1)n√n+|x|√n
n−1
c. En utilisant le critère spécial des séries alternées, montrer que la série de fonctions Pun converge uniformément sur[−1,0].
d. Montrer enfin que la fonctionf admet une limite finie à droite en−1.
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Veuillez rédiger ces exercices sur une nouvelle copie.
Exercice 2 : Séries de Fourier ( 4 points )
Pour tout réelx, on posef(x) =|sinx|.
1. Donner grossièrement une représentation graphique def sur l’intervalle[−2π,2π].
2. Déterminer les coefficients réels du développement en série de Fourier def. Rappel.∀(a, b)∈R2, 2 sinacosb= sin(a+b) + sin(a−b)
3. Prouver que∀x∈R,|sinx|= 2 π− 4
π
+∞
X
n=1
cos(2nx) 4n2−1 .
Exercice 3 : Séries de fonctions ( 4 points )
On noteI=]0,+∞[, et on définit pour un entier natureln, et pourx∈I, fn:x7→e−nx−2e−2nx
1. Justifier que pour tout entier naturel n non nul, fn est intégrable sur I, puis calculer Z +∞
0
fn(x) dx.
2. Que vaut la somme
+∞
X
n=1
Z +∞
0
fn(x) dx? 3. Démontrer que la série des fonctions X
n>1
fn converge simplement sur I. Déterminer sa fonction sommeS, et montrer que∀x∈I, S(x) = e−x
1 + e−x. 4. Montrer queS est intégrable surI, puis calculer
Z +∞
0
S(x) dx.
Exercice 4 : Questions de cours ( 7 points )
1. Donner la nature de Z +∞
0
2 t dt
2. Étudier la nature de la convergence de la suite de fonctions (fn) définies sur R par fn : x7→sinnx.
3. Donner la nature de la sérieX
n>1
n!
nn.
4. Vrai ou Faux : on démontrera les résultats, ou on proposera un contre-exemple.Soitf une fonction continue sur R.
a. Si R+∞
1 f(t) dtconverge, alorsR+∞
0 f(t) dtconverge.
b. Si R+∞
0 f(t) dtconverge, alors lim
t→+∞f(t) = 0.
c. Si R+∞
0 f(t) dtconverge, alorsR+∞
0 |f(t)|dt converge.
d. Si lim
t→+∞
√
tf(t) = 2, alorsR+∞
0 |f(t)|dtconverge.
MT26 Automne 2016 page 2
