19 janvier 2018, dur´ee 2 heures UTBM
Final MT26, Automne 2017
La pr´ecision et la clart´e de la r´edaction seront prises en compte dans l’´evaluation de la copie. Le barˆeme, donn´e `a titre indicatif, est susceptible de modification.
Aucun document n’est autoris´e pour l’´epreuve. Les calculatrices sont interdites.
Les deux parties sont `a r´ediger sur des copies diff´erentes.
Exercice 1 : S´eries de Fourier ( 7 points )
Soit le signal 2π-p´eriodique d´efini pourt∈]−π, π[ parx(t) =|t|.
1. Etudier la parit´´ e de la fonctionx.
2. Calculera0,an, etbn pour toutn∈N∗.
3. Donner la valeur dea2n eta2n+1pour toutn∈N∗ 4. Donner le d´eveloppement en s´erie de Fourier dex.
5. En d´eduire la valeur de
+∞
X
k=0
1 (2k+ 1)2.
6. En d´eduire la valeur de
+∞
X
n=1
1 n2.
7. Donner la valeur de
+∞
X
k=0
1 (2k+ 1)4.
8. En d´eduire la valeur de
+∞
X
n=1
1 n4.
MT26 Automne 2017 page 1 Tourner la page S.V.P.
19 janvier 2018, dur´ee 2 heures UTBM
Veuillez r´ediger ces exercices sur une nouvelle copie.
Exercice 2 : S´eries de fonctions ( 7 points )
On consid`ere la fonction ζ (fonction ”zeta”) de la variable r´eelle x d´efinie par la relation ζ(x) =
+∞
X
n=1
1
nx lorsque cette notation a un sens. Pour tout entiern∈N∗, on consid`ere les fonctions fn d´efinies pour toutx∈]1,+∞[ parfn(x) = 1
nx.
1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonctionζ.
2. Soit a∈]1,+∞[, montrer que ζ est continue sur [a,+∞[. Que peut-on en d´eduire pour la continuit´e de la fonctionζ ?
3. Soitn∈N∗, on admet que∀k∈N∗,∀x∈]1,+∞[, fn(k)(x) = −lnnk
nx .
Montrer queζest de classeC∞sur ]1,+∞[, et pour toutk∈N∗ donner l’expression deζ(k) sous la forme d’une s´erie.
4. Pr´eciser le sens de variation deζ.
5. Calculer la limite deζen +∞.
6. a. A l’aide d’une comparaison s´` erie-int´egrale, montrer que
∀n∈N∗,∀h >0,1
h−(n+ 1)−h
h 6
n
X
k=1
1
k1+h 61 + 1 h−n−h
h b. En d´eduire un ´equivalent deζ(x) lorsquextend vers 1.
Exercice 3 : Int´egrales g´en´eralis´ees ( 4 points )
1. Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z 1
0
sint
t dtest convergente.
2. Montrer que pour toutx>1, on a Z x
1
sint
t dt= cos 1−cosx
x −
Z x
1
cost
t2 dt. En d´eduire que Z +∞
1
sint
t dtest convergente.
3. Montrer de la mˆeme mani`ere que Z +∞
1
cos(2t)
t dt est convergente.
4. En d´eduire que Z +∞
1
sin2t
t dtest divergente.
Exercice 4 : S´eries enti`eres ( 4 points )
Pourxr´eel, on posef(x) =
+∞
X
n=1
xn
√n.
1. D´eterminer le rayon de convergenceR de la s´erie enti`ere d´efinissant f.
2. Etudier la convergence de la s´´ erie enti`ere en 1 et en−1.
3. Etablir la continuit´´ e def en−1.
4. En remarquant que∀n∈N,√
n6n, d´eterminer la limite def en 1.
MT26 Automne 2017 page 2
