le 19 Janvier 2009 UTBM MT26
Final automne 2008
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE. (12 points)
1) D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere en 0 de la fonction f(x) = ln(x2−5x+ 6) et d´eterminer sur quelintervalle ce d´eveloppement est valable.
2) Justifier le fait qu’une s´erie enti`ereP
n≥0anxn de rayon de convergenceR est continue sur ]−R, R[.
3) SoitP
n≥0anxn une s´erie enti`ere de rayon de convergence R ∈R. On d´efinit (bn)n≥0 par
∀n∈ N,b2n =an et b2n+1 = 0. Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P
n≥0bnxn. Justifier.
4) D´eterminer le d´eveloppement de Fourier complexe de la fonction 2π-p´eriodique d´efinie sur ]0,2π] parf(x) =e2x. En d´eduire le d´eveloppement de Fourier r´eel def.
Rappel :Soit f :R−→ R une fonction continue par morceaux,T p´eriodique (ω = 2πT ) On d´efinit les coefficients de Fourier complexesde f pour n∈Z:
cn(f) = 1 T
Z T
0
f(t)e−inωtdt.
5) D´eterminer une fonction de la variable complexef(x+iy) =p(x, y) +i.q(x, y) holomorphe sur Cavec p(x, y) =xy.
6) D´eterminer le domaine de d´erivabilit´e au sens complexe de la fonction d´efinie sur C par f(z) =z.(1−z).¯
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DEUXIEME PARTIE (CHANGER DE FEUILLE !).
Exercice 1 (5 points)
Soit l’´equation diff´erentielle
(E) x.y00+ 2.y0+x.y= 0 avec les conditions initiales : y(0) = 1 , y0(0) = 0.
1) D´eterminer les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere au voisinage de 0 de E ainsi que leur rayon de convergence.
2) Reconnaˆıtre ces solutions.
Exercice 2 (5 points)
Soit la fonction impaire, 2π-p´eriodique telle que ∀x∈]0, π[par : f(x) =x.
1) Tracer la courbe repr´esentative de cette fonction sur [−3π,3π].
2) Calculer les coefficients de Fourier r´eels et donner le d´eveloppement de Fourier correspon- dant de f.
3) Vers quelle fonction converge le d´eveloppement de Fourier def? Cette convergence est-elle uniforme ? Pourquoi ?
4) En d´eduire P+∞
p=0 (−1)p
2p+1 etP+∞
n=1 1 n2.
D´eveloppements usuels en s´eries enti`eres autour de 0.
ex =P+∞
n=0 xn
n!, cosh(x) =P+∞
p=0 x2p (2p)!, sinh(x) =P+∞
p=0 x2p+1 (2p+1)!, cos(x) =P+∞
p=0
(−1)px2p (2p)! , sin(x) =P+∞
n=0
(−1)px2p+1 (2p+1)! , (1 +x)α= 1 +P+∞
n=1
α(α−1)...(α−n+1) n! xn,
1
1−x =P+∞
n=0xn, ln(1 +x) =P+∞
n=1
(−1)n+1xn
n ,
arctan(x) =x+P+∞
n=1(−1)n1.3....(2n−1) 2.4...(2n)
x2n+1 2n+1.
2
