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le 8 Juillet 2014 UTBM MT21
Final Printemps 2014
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Exercice 1 (10 points) Soit l’application
f : R3 −→ R3
x y z
7→
x+z y x+y+z
.
1) Quelle est la matrice A de l’endomorphisme f dans la base canonique ?
2) D´eterminer les racines r1, r2, r3 du polynˆome det(A−x.I3) avec I3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
3) D´eterminer une base du noyau de A−r1.I3.
4) D´eterminer une base du noyau de A−r2.I3.
5) D´eterminer une base du noyau de A−r3.I3.
6) Quelle est la matrice D de f dans la base constitu´ee des 3 vecteurs trouv´es dans les 3 questions pr´ec´edentes ?
7) D´eterminer la matrice de passage P tels que A=P.D.P−1.
8) Calculer Dn.
9) Donner l’expression deA2 en fonction de P et D. G´en´eraliser `aAn (n∈N) en fonction de P, D et n.
10) En d´eduire An en fonction de n pour n∈N.
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Exercice 2 (10 points)
I - Soit, dans R2 le domaine D={ x
y
∈R2;y−x2 ≥ −π2, y ≤sin(x), x≥0}.
1) Repr´esenter graphiquement D et donner une description hi´erarchis´ee de ce domaine.
2) D´eterminer l’aire de D.
3) D´eterminer les coordon´ees du centre de gravit´e G du domaine D.
