le 19 Juin 2007 UTBM MT12
Final
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (7 points)
Les questions 1), 2) et 3) sont ind´ependantes.
1) Calculer l’int´egrale
I = Z ln(2)
0
√ex−1dx grˆace au changement de variable u=√
ex−1.
2) Pour tout n ∈N, on pose In=
Z 1
0
xn.exdx et Jn= Z e
1
(ln(x))ndx.
a - Etablir une r´ecurrence entre In et In−1. En d´eduire le calcul de In. b - Montrer que Jn=In.
3) Soit a >0. On veut calculer I =
Z +∞
a
2x2+ax+a2 x.(x+a).(x2+a2)dx.
Calculer, si possible, I1 =R+∞
a 1
x.(x+a)dx et I2 =R+∞
a 1
x2+a2dx. En d´eduire I.
Exercice 2 (8 points) (NOUVELLE FEUILLE) On pose Ω =R2/{(0,0)}.
Soit f :R2 →R
(
f(x, y) = x2xy+y32 si (x, y)∈Ω f(0,0) = 0
1) Montrer quef est continue sur R2.
2) Montrer quef est diff´erentiable sur Ω et calculer sa diff´erentielle.
3) Calculer, si elles existent, les d´eriv´ees partielles ∂f∂x(0,0) et ∂f∂y(0,0).
4) Calculer, si elles existent, les d´eriv´ees partielles secondes δxδyδ2f (0,0) et δyδxδ2f (0,0).
Que peut-on en d´eduire ?
TOURNER LA PAGE SVP 1
Exercice 3 (7 points) (NOUVELLE FEUILLE)
Soit l’application lin´eaire donn´ee, dans la base canonique, par fA: R3 −→ R3
x y z
7→ A.
x y z
o`u A=
−1 3 1
0 1 0
0 −2 −1
.
1) Trouver le polynˆome caract´eristique de fA. En d´eduire ses valeurs propres.
2) Trouver une base des sous-espaces propres.
3) Trouver une base B de R3 telle que T :=MfA,B =
a 0 0 0 b 1 0 0 b
avec a, b∈R.
En d´eduire P telle que P.T.P−1 =A.
4) R´esoudre le syst`eme diff´erentiel
y10(t) = −y1(t) +3.y2(t) +y3(t) + 1 y20(t) = y2(t)
y30(t) = −2y2(t) −y3(t)
2
