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le 2 Juillet 2012 UTBM MT21
Final Printemps 2012
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Exercice 1 (8 points) Soit l’application lineaire
f : R3 −→ R3
x y z
7→ A.
x y z
avec A=
−1 −2 2
0 0 0
0 −1 1
.
1) D´eterminer le polynˆome P(x) = det(A−x.I3) et trouver ses racinesx1 =−a, x2 = 0 et x3 =a.
2) D´eterminer le noyau de f −xi.I3 pour i= 1,2,3.
3) D´eduire de la question pr´ec´edente une base B dans laquelle la matrice de f est
D=
x1 0 0 0 x2 0 0 0 x3
.
Justifier.
4) Quelles sont les matrices de passage PC,B et PB,C telles que Mf,C =PC,B.Mf,B.PB,C o`u C d´esigne la base canonique de R3? V´erifier.
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Exercice 2 - (6 points)
On consid`ere, dans un rep`ere orthonorm´e direct (O, i, j), la courbe param´etr´ee d´efinie par
f(t) = (x(t) = cos(t), y(t) = sin(2t)).
1) Comparer f(−t) `a f(t) et f(t+ 2π) `a f(t). En d´eduire qu’on peut ´etudier cette courbe sur [0, π]. Expliquer.
2) Etudier les variations de t7→x(t) et t 7→y(t) sur [0, π].
3) D´eterminer les tangentes horizontale et verticale a la courbe.
4) D´eterminer les points d’intersection de la courbe avec l’axe (Ox).
5) La courbe a-t-elle les points d’inflexions ?
6) Tracer la courbe.
Exercice 3 (6 points)
Soit, dans R2 le domaine D={ x
y
∈R2;y+x≤2,2x−y ≤0, x≥0}.
1) Repr´esenter graphiquement D
2) Donner une description hi´erarchis´ee du domaine D.
3) D´eterminer l’aire de D.
4) Donner les coordonn´ees du centre de gravit´e de D.
