Final automne 2011 Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est

le 24 Janvier 2012 UTBM MT20

Final automne 2011

Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main

Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.

Exercice 1 (7 points)

1. R´esoudre (E₁) y⁰+ 3.x².y=x².e^−x3

2. R´esoudre (E₂) y⁰⁰+ 2.y⁰+ 2.y= 2.x²+ 4.x+ 4.

3. R´esoudre (E₃) (x−1).y⁰⁰−x.y⁰+y= 0.

Montrer que y₁=e^x est solution de(E₃). En d´eduire toutes les solutions de (E₃)en posant y(x) =y1(x).z(x).

Exercice 2 (3 points)

D´eterminer une ´equation diff´erentielle admettant

{e^x+1

4 + (C₁+C₂.x).e^2x, C₁, C₂ ∈R} comme ensemble de solutions. Expliquer.

TOURNER LA PAGE S.V.P.

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Exercice 3 (4 points)

Soit f la fonction de deux variable r´eelles d´efinie par f(x, y) = _(x.y−1).y^x . 1. D´eterminer et repr´esenter graphiquement l’ensemble de d´efinition def. 2. f admet-elle une limite en(0,0)?

Exercice 4 (6 points)

Soit la fonction f d´efinie par : (

f(x, y) = _x2^y+y^{4 2} si (x, y)6= (0,0) f(x, y) = 0 si (x, y) = (0,0) 1 - f est-elle continue sur R²?

2 - Quelles sont ses d´eriv´ees partielles ?

3 - Les d´eriv´ees partielles sont-elles continues sur R²?

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