le 19 Janvier 2007 UTBM MT11
Final Automne 2006
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Applications directes du cours) - 5 points
Dans cet exercice, aucune question ne n´ecessite plus de quelques lignes pour ˆ
etre r´esolue
1) Peut-on trouverf une fonction continue sur]a, b[telle quef(]a, b[) = [c, d](a, b, c, d∈ R) ? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier.
2) Donner l’ensemble de d´efinition et la d´eriv´ee de la fonction r´eelle `a une variable r´eelle d´efinie pas f(x) = arccos(ex+1).
3) Peut-on trouver une fonction r´eelle d´efinie sur R, d´erivable sur R, dont la d´eriv´ee ne soit pas d´erivable sur R? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier.
4) Peut-on trouver un polynˆome de degr´e 3 tel que D(X) = X2 −1 soit P GCD de P(X) et P0(X)? Si oui, donner un exemple, sinon, justifier.
5) Quelle est le nombre de solutions r´eelles de l’´equation x3+ 2x−1 = 0?
Exercice 2 (5 points)
Soit n un entier strictement positif. On consid`ere la fonction fn d´efinie sur R par ( fn(0) = 0
fn(x) = arctan(x.sin(1 1
n)) pour x6= 0 1) Pour n ∈N∗ fix´e, la fonction fn est-elle continue ? 2) Pour x ∈ R fix´e, calculer
n→+∞lim fn(x).
3) On notef l’application d´efinie sur Rqui `a x associef(x) = limn→+∞fn(x). Est-elle continue sur R? La repr´esenter.
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Exercice 3 (6 points)
1) D´ecomposer en ´el´ements simples 2
x(x+ 1)(x+ 2). 2) En d´eduire la somme Sn =Pn
p=1 1
p(p+1)(p+2) (n ∈N).
3) Trouver limn→∞Sn.
4) G´en´eralistation de 1) : D´ecomposer en ´el´ements simples n!
x(x+ 1)(x+ 2)...(x+n), n∈N∗, n≥3.
5) Question ind´ependante : D´ecomposer en ´el´ements simples sur R(X), la fraction rationnelle
F(X) = X2−X+ 1 X4+X2 . Quelles sont les primitives de F(X)?
Exercice 4 (5 points)
On consid`ere la fonction r´eelle d’une variable r´eelle : f : R −→ R
x 7→ f(x) = ex−1−xx2
1) Quel est l’ensemble de d´efinition def? La prolonger par continuit´e.
2) Montrer que le prolongement de f est d´erivable en 0. Donner la valeur de cette d´eriv´ee.
3) Donner son d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 3.
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