1
le 12 Novembre 2008 UTBM MT12
Final Printemps 2008
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Exercice 1 - 6 points
Soit l’´equation du troisi`eme degr´e : (e) y000−3y0+ 2y = 0.
1. En posant X =
y y0 y00
, ´ecrire cette ´equation sous la forme X0 = A.X o`u A est une matrice de M3(R).
2. Triangulariser la matrice A sous la forme T =
−2 0 0 0 b 1 0 0 b
(b∈R).
3. En d´eduire les solutions de (e).
Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 7 points
I - D´eterminer les points critiques (d´eriv´ees partielles nulles) de la fonction suivante et d´eterminer si ce sont des maxima locaux, des minima locaux ou des points selle :
f(x, y) =x3+y3+x2−y2.
II - Soit la fonction f d´efinie par : (
f(x, y) = x2x.y+x.y2+y2 2 si (x, y)6= (0,0) f(x, y) = 0 si (x, y) = (0,0)
1 -f est-elle continue sur R2?
2 - Quelles sont ses d´eriv´ees partielles ?
3 - Les d´eriv´ees partielles sont-elles continues ? 4 - Question hors bar`eme (2 points)
Calculer, quand c’est possible, les d´eriv´ees secondes suivantes : ∂∂x2f2(0,0), ∂∂y2f2(0,0), ∂x ∂y∂2f (0,0),
∂2f
∂y ∂x(0,0).
TOURNER LA PAGE SVP
2
Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 7 points I - Trouver la solution v´erifiant y(1) = 2 de l’´equation
(e) 2xyy0−3y2+x2 = 0 (x, y ≥0) en posant z =y2.
II - Soit f une fonction continue de R dans R. On d´efinie G:R−→R par G(x) =
Z x2+1
2x−1
f(t)dt.
D´eterminer G0(x).
III - a) Montrer que, si k >0, on a Rk+1
k
√dx
x ≤ √1k et, si k >1, on a √1k ≤Rk
k−1
√dx x. b) Soit la suite (un)n≥1 d´efinie par un= (Pn
k=1 √1
k)−2√
n. D´eduire de a) que Z n+1
1
√1
xdx−2√
n≤un ≤1 + Z n
1
√1
xdx−2√ n.
c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que ∀n∈N∗,−2≤un≤ −1.
d) Question hors bar`eme (2 points) :
Montrer que un est croissante, convergente et que sa limite l v´erifie −2≤l ≤ −1.
