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le 4 Juillet 2017 UTBM MT21
Final Printemps 2017
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Exercice 1 (7 points) Soit l’application
f : R3 −→ R3
x y z
7→
x+z y x+y+z
.
1) Quelle est la matrice A de l’endomorphisme f dans la base canonique ?
2) D´eterminer les racines r1, r2, r3 du polynˆome det(A−x.I3) avec I3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
3) D´eterminer une base du noyau de A−r1.I3. 4) D´eterminer une base du noyau de A−r2.I3. 5) D´eterminer une base du noyau de A−r3.I3.
6) Quelle est la matrice D de f dans la base constitu´ee des 3 vecteurs trouv´es dans les 3 questions pr´ec´edentes ?
7) D´eterminer la matrice de passage P tels que A=P.D.P−1.
Exercice 2 (6 points)
I - Soit, dans R2 le domaine D={ ( x
y )
∈R2;y≤1 +x, y ≥2x−1, x≥0}.
1) Repr´esenter graphiquement D et donner une description hi´erarchis´ee de ce domaine.
2) D´eterminer l’aire de D.
3) D´eterminer les coordon´ees du centre de gravit´e G du domaine D.
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Exercice 3 (8 points)
Nous nous proposons, dans cet exercice, d’´etudier la courbe param`etr´ee d´efinie par
f(t) = (x(t) = sint, y(t) = sint 2 + cost).
1) en ´etudiant la p´eriodicit´e et la parit´e de x et y, r´eduire l’intervalle d’´etude.
2) d’´eterminer les ´eventuels points multiples de f sur l’intervalle ci-dessus.
3) Etudier les variations, limites, tangentes de la courbe aux points remarquables.
4) Tracer la courbe.
{On donne les approximations suivantes : √23 ≃0.866 et √33 ≃0.577.}
