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le 29 Juin 2010 UTBM MT21
Final Printemps 2010
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Exercice 1 (8 points) Soit l’application
f : R3 −→ R3
x y z
7→ A.
x y z
o`u A=
1 −1 1 0 0 −1 0 0 −1
.
1) Calculer les 3 vecteursf(
1 1 0
), f(
1 0 0
), f(
0 1 1
).
2) Exprimer les vecteurs f(
1 1 0
), f(
1 0 0
), f(
0 1 1
) dans la base
B ={
1 1 0
,
1 0 0
,
0 1 1
}.
3) En d´eduire la matrice de f dans la base B, D=Mf,B.
4) Soit P =
1 1 0 1 0 1 0 0 1
. P s’appelle la matrice de passage de B `a la base cano- nique.
D´eterminer l’inverse P−1 de P.
5) Calculer P.D.P−1 et comparer le r´esultat avec les matrices pr´ec´edentes.
6) En deduire l’expression de A2 en fonction de P et D. G´en´eraliser `a An (n ∈ N) en fonction de P, D et n.
7) Calculer Dn.
8) En d´eduire An.
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Exercice 2 - (6 points)
On consid`ere, dans un rep`ere orthonorm´e direct (O, i, j), la courbe param´etr´ee d´efinie par
f(t) = (x(t) = cos(t), y(t) = sin(2t)).
1) Comparer f(−t) a f(t) et f(t+ 2π) `a f(t). En d´eduire qu’on peut ´etudier cette courbe sur [0, π]. Expliquer.
2) Etudier les variations de t7→x(t) et t 7→y(t) sur [0, π].
3) D´eterminer les tangentes horizontale et verticale a la courbe.
4) D´eterminer les points d’intersection de la courbe avec l’axe (Ox).
4) La courbe a-t-elle les points d’inflexions ?
5) Tracer la courbe.
Exercice 3 (6 points)
I - Soit, dans R2 le domaine D={ x
y
∈R2;y≤1 +x, y ≥2x−1, x≥0}.
1) Repr´esenter graphiquement D et donner une description hi´erarchis´ee de ce domaine.
2) D´eterminer l’aire de D.
3) D´eterminer les coordon´ees du centre de gravit´e G du domaine D.
II - Int´egrer, grˆace `a un changement de variables, f(x, y) =p
x2+y2 sur D={ x
y
∈ R2, π2 ≤x2+y2 ≤4π2}.
