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le 2 F´evrier 2011 UTBM MT26
Final automne 2010
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE.
Exercice 1 - 8 points
1. D´evelopper en s´erie de Fourrier la fonction 2π-p´eriodique d´efinie sur [−π, π] par f(x) =|x|.
2. Cette s´erie converge-t-elle sur R? Vers quelle fonction ? La convergence est-elle uni- forme ? Justifier.
3. En d´eduire
S1 =
+∞
∑
n=0
1
(2p+ 1)2, S2 =
+∞
∑
n=1
1
n2, S3 =
+∞
∑
n=0
1 (2n+ 1)4.
Exercice 2 - 2 points
La s´erie de fonctions suivante est-elle uniform´ement convergente sur R? S(x) =
+∞
∑
n=1
((−1)n.cos(nx)
n.2n +sin(nx) n2
) .
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DEUXIEME PARTIE : NOUVELLE FEUILLE.
Exercice 3 - 4 points
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
1. ∑
anxn et ∑
(−1)n.an.xn ont mˆeme rayon de convergence.
2. ∑
anxn et ∑
(−1)n.an.xn ont mˆeme domaine de convergence.
3. Si la s´erie ∑
anxn converge sur R alors elle converge uniform´ement sur R. 4. Si la s´erie ∑
anxn converge sur R alors elle est continue sur R.
Exercice 4 - 5 points
D´eterminer une s´erie enti`ere solution de l’´equation xy′′ − y = x2 +x −1 v´erifiant y(0) = 1 et y′(0) = 1.
Exercice 5 (4 points) 1. Montrer que
+∞
∑
n=1
xn n2 =
{ −∫x
0
ln(1−t)
t dt si x∈]0,1[
0 si x= 0 2. En d´eduire
I =
∫ 1 0
ln(1−t) t dt.
Attention ! Bien justifier au point x = 1.
RAPPEL :
∀x∈]−1,1[, 1 1−x =
+∞
∑
n=0
xn.
PARSEVAL : f :R−→R une fonction continue par morceaux, T p´eriodique. Alors 1
T
∫ T
0
(f(x))2dx=a20+
+∞
∑
n=1
a2n+b2n 2 .
