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le 24 Janvier 2012 UTBM MT26
Final automne 2011
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE.
Exercice 1
Soit f la fonction 2π p´eriodique d´efinie sur ]−π, π] par
f(x) =
1 si |x| ≤1 0 sinon
1. Tracer la repr´esentation graphique de f sur [−2π,2π].
2. Justifier que f est d´eveloppable en s´erie de Fourier, puis calculer ce d´eveloppement fb(x).
3. Cette s´erie converge-t-elle sur R? Vers quelle fonction ? La convergence est-elle uni- forme ? Justifier.
4. Calculer X
n≥1
sinn n .
5. Calculer X
n≥1
sin2n n2 .
TOURNER LA PAGE SVP
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DEUXIEME PARTIE : NOUVELLE FEUILLE.
Exercice 2
D´eterminer les intervalles de convergences des s´eries enti`eres suivantes.
1. S1 =P
n≥0(−2)n.nn!n.xn, 2. S2 =P
n≥0 n 2n.x2n. 3. S3 =P
n≥1
sin(n) nn.ln(n+1).xn,
Exercice 3
1. Trouver les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere de l’equation diff´erentielle : xy00−xy0−y= 0.
2. Reconnaˆıtre ces solutions.
3. A-t-on toutes les solutions de l’´equation diff´erentielle ? Justifier.
RAPPEL :
∀x∈]−1,1[, 1 1−x =
+∞
X
n=0
xn.
∀x∈R, ex=
+∞
X
n=0
xn n!.
Egalit´e de Parseval:f :R−→Rune fonction continue par morceaux,T p´eriodique.
Alors
1 T
Z T
0
(f(x))2dx=a20+
+∞
X
n=1
a2n+b2n 2 .
Formule de Stirling: n!∼n→+∞√
2πn(ne)n.
