le 2 F´evrier 2011 UTBM MT20
M´edian automne 2010
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 - 6 points
1. En utilisant un changement de variables, donner une primitive de ex+e1−x. 2. Calculer l’int´egrale I =∫2
1
x2−x+1 x3+x dx.
3. Soit, pourn∈N, In=∫e
1(ln(x))ndx.
a) D´eterminer, pour n≥1, une relation de r´ecurrence entre In etIn−1. b) En d´eduire I3 et I4.
Exercice 2 - 8 points
1. Les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes sont-elles convergentes ? Discuter suivant les valeurs de n.
I1=
∫ 1
0
ln(1 +t)
tn dt (n∈N) I2 =
∫ +∞
1
ln(1 +t)
tn dt(n∈N).
2. Les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes sont-elles convergentes ? Justifier.
I3 =
∫ +∞
0
sin(et)dt, I4=
∫ +∞
0
sin(1 t)dt.
TOURNER LA PAGE SVP
1
Exercice 3 - 6 points
Soit la fonction d´efinie sur R∗ telle que f(x) =
∫ 2x
x
et tdt.
1) Montrer quef est d´erivable sur son ensemble de d´efinition.
2) Montrer que ∀x ∈ R+, ln(2).ex ≤ f(x) ≤ ln(2).e2.x et ∀x ∈ R−, ln(2).ex ≥ f(x) ≥ ln(2).e2.x.
3) prolonger f par continuit´e.
RAPPEL :
ln(1 +X)∼X→0X−X2
2 +o(X2).
cos(X)∼X→0 1−X2
2 +o(X3).
sin(X)∼X→0 X−X3
6 +o(X3).
arctan(X) =X−1
3X3+o(X3).
∀k∈]−1,1[,
+∞
∑
n=N
kn= kN 1−k.
2
