le 19 Janvier 2015 UTBM MT20
M´edian automne 2014
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 - 6 points Donner les primitives de 1. f(x) =x.ln(x) sur R∗+. 2. f(x) = costan2xx sur ]−π2,0[.
3. f(x) = x2+4x+5x+3 sur R.
Exercice 2 - 4 points Calculer l’int´egrale
Z 6
−1
√ 1
2 +x+√3
2 +xdx
`
a l’aide du changement de variable t=√3 2 +x.
Exercice 3 - 6 points
Attention au signe de la fonction `a int´egrer ! 1. I1 =R+∞
2 e−x x.√
xdx est-elle convergente ? 2. I2 =R2
0 sin(x)
x.√
x.dxest-elle convergente ?
3. Grˆace au changement de variablesu=x2, montrer queI3=R+∞
1 sin(x2)dxest convergente.
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Exercice 4 - 5 points
Etudier l’int´egrabilit´e de t7→fn(t) = ln(t)n pour n∈Z en 0, +∞ et 1 suivant les cas.
RAPPEL :
ln(1 +X) =X−X2
2 +o(X2).
cos(X) = 1−X2
2 +o(X3).
sin(X) =X− X3
6 +o(X3).
arctan(X) =X−1
3X3+o(X3).
∀k∈]−1,1[,
+∞
X
n=N
kn= kN 1−k.
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