M´edian automne 2015

le 22 Janvier 2016 UTBM MT20

M´edian automne 2015

Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main

Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.

Exercice 1 - 6 points

Calculer les primitives des fonctions suivantes sur leur ensemble de d´efinition : 1. f1(t) = cos³(t),

2. f2(t) =t².cos(t), 3. f3(t) = _t2+2t+2^t+2 , 4. f₄(t) = _et^e+1^t .

Exercice 2 - 8 points

Si une question pose probl`eme, passer `a la suivante.

I - S´erie harmonique.

1) Montrer que, pour k∈N^∗, 1 k+ 1 ≤

Z k+1

k

1

xdx≤ 1 k.

2) D´eduire de la question pr´ec´edente que la suite (sn)n∈N^∗ avec sn = Pn k=1

1

k est une suite divergente vers +∞.

II - G´en´eralisation.

Soitf : [1,+∞[−→R+ continue, d´ecroissante et convergeant vers 0 lorsquex tend vers +∞.

1) Montrer que, pour k∈N^∗,

f(k+ 1)≤ Z k+1

k

f(x)dx≤f(k).

2) En d´eduire que R+∞

1 f(x)dx converge si et seulement si la suite (sn)n∈N^∗ avec sn = Pn

k=1f(k) converge.

Ce r´esultat s’appelle le ”crit`ere de comparaison d’une s´erie avec une int´egrale”.

TOURNER LA PAGE SVP 1

Exercice 3 - 6 points

1. Calculer les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes si elles convergent ?

I₁ = Z 1

0

1

ln(x)dx, I₂ = Z ∞

0

t+ 1 e^t dt.

2. L’int´egrale g´en´eralis´ee suivante est-elle convergente ? Justifier soigneusement.

I₃ = Z +∞

0

ln(1 +x)

√x.(x³+ 2x+ 4)dx

RAPPEL :

ln(1 +X) =X−X²

2 +o(X²).

cos(X) = 1−X²

2 +o(X³).

sin(X) =X− X³

6 +o(X³).

arctan(X) =X−1

3X³+o(X³).

∀k∈]−1,1[,

+∞

X

n=N

kⁿ= k^N 1−k.

ln(2)'0.6931471806, ln(3)'1.098612289.

√

3'1.732050808, ln(3)

√

3 '0.6342841009.

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