le 22 Janvier 2016 UTBM MT20
Final automne 2015
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 - 10 points
Etudier la convergence des s´eries suivantes : 1. S1 =P
(n+1n )n, 2. S2 =P(n!)2
2n2 , 3. S3 =P
√n2+1
sin(√1n).√ n5+n, 4. S4 =Pln(n)
n2 , 5. S4 =P (−1)n
n−ln(n). Cette s´erie est-elle absolument convergente ?
Exercice 2 (9 points)
Soit la fonction f d´efinie par : (
f(x, y) = x2y+y3 2 si (x, y)6= (0,0) f(x, y) = 0 si (x, y) = (0,0) 1 - f est-elle continue sur R2? Justifier soigneusement.
2 - Quelles sont ses d´eriv´ees partielles sur R2? Justifier soigneusement.
3 - Les d´eriv´ees partielles sont-elles continues sur R2? Justifier soigneusement.
1
Exercice 3 (3 points)
D´eterminer l’ensemble de d´efinition et les extremums de la fonctiong(x, y) =x((ln(x))2+y2).
Justifier soigneusement.
RAPPEL :
ln(1 +X) =X− X22 +o(X2).
cos(X) = 1−X22 +o(X3).
sin(X) =X−X63 +o(X3).
arctan(X) =X−13X3+o(X3).
∀k∈]−1,1[,P+∞
n=Nkn= 1−kkN . e= exp(1)'2.718.
2
