le 24 Janvier 2012 UTBM MT20
M´edian automne 2011
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 - 8 points 1. Calculer l’int´egrale
I = Z 1
0
e2x ex+e−xdx.
2. Calculer les primitivesR 1
√2+x+√3
2+xdx `a l’aide du changement de variablet=√3 2 +x.
3. Calculer les primitives de f(x) = x21+5. 4. Pour toutn∈N, on pose
In= Z 1
0
xn.exdx et Jn= Z e
1
(ln(x))ndx.
(a) Etablir une r´ecurrence entre In etIn−1. En d´eduire le calcul de In. (b) Montrer que Jn=In.
Exercice 2 - 8 points
1. Les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes sont-elles convergentes ? Discuter suivant la valeur de n.
I1= Z +∞
1
ln(x)
x.(x2−1)dx, I2 = Z 1
0
(ln(x))ndx (n∈N)
2. Les int´egrales g´en´eralis´ees suivantes sont-elles convergentes ? Justifier.
I3 = Z +∞
0
xe−xsin(x)dx, I4= Z +∞
0
sin(x) x.√
xdx.
TOURNER LA PAGE SVP
1
Exercice 3 - 6 points
Les trois premi`eres questions sont ind´ependantes. Si une question pose probl`eme, passer a la suivante.
Soit F la fonction d´efinie surR par F(x) =
Z 2x
x
√ dt
t4+t2+ 4.
1) Montrer queF est une fonction impaire.
2) Montrer queF est d´erivable et calculer sa d´eriv´ee F0. Quel est le signe de F0 sur R? 3) Montrer que pour x∈R+, on a0≤F(x)≤ √ x
x4+x2+4.
4) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que F est born´ee sur Ret donner un majorant de |F|.
RAPPEL :
ln(1 +X) =X−X2
2 +o(X2).
cos(X) = 1−X2
2 +o(X3).
sin(X) =X− X3
6 +o(X3).
arctan(X) =X−1
3X3+o(X3).
∀k∈]−1,1[,
+∞
X
n=N
kn= kN 1−k.
2
