le 3 Juillet 2007 UTBM MT12
M´edian
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Applications directes du cours) - 6 points
Dans cet exercice, aucune question ne n´ecessite plus de quelques lignes pour ˆ
etre r´esolue. Justifier les r´eponses
1) Donner 4 sous-espaces vectoriels duR-espace vectoriel d´efini par
E ={
x y z
∈R3, x=y}
2) Peut-on construire une application lin´eaire injective mais non surjective ? 3) Pour quelles valeurs de m ∈ R, les vecteurs V1 =
m m+ 1
m
, V2 =
m 2m+ 2
2m
,
V3 =
0 m+ 1 m+ 1
sont-ils ind´ependants ? (pas plus d’une demi-page en ´ecrivant gros) 4) En reprenant les vecteurs ci-dessus, quelle est la dimension du sous-espace vectoriel F =vect(V1, V2, V3) pour m=−1,0,1.
5) Quelles sont les coordonn´ees de V =
−1
−2 0
dans la base de R3 :
B ={
1 1 1
,
1 2 1
,
0 1 1
}.
6) Quelle est la matrice de passage de la base B ci-dessus `a la base canonique C = {
1 0 0
,
0 1 0
,
0 0 1
} (i.e. matrice PBC tel que ∀V ∈R3, VB =PBC.VC).
TOURNER LA PAGE SVP 1
Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 7 points Soit C ={e1, e2, e3}, la base canonique de R3. Soit l’application lin´eaire f :R3 −→R3 d´efinie par f(e1) =
1 0
−1
, f(e2) =
1
−1 0
, f(e3) =
0 1
−1
.
1) Quelle est l’image par f du vecteur
1 2 3
? Et celle de
x y z
∈R3. 2) Quel est le noyau de f? Quelle est sa dimension ?
3) Quel est l’image de f? Quelle est sa dimension ? 4) Que peut-on dire deKer(f) +Im(f)?
Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 8 points
Si une question pose probl`eme, admettre le r´esultat et passer `a la suivante.
Soit l’application
f : R2[X] −→ R2[X]
P(X) 7→ reste de la division euclidienne de X.P(X) par X3−X
RAPPEL : la division euclidienne est la division suivant les puissances d´ecroissantes.
PARTIE I :
1) Quelles sont les images des 3 vecteurs de C ={1, X, X2} par f?
2) Quelles sont les composantes dans B des 3 images trouv´ees `a la question pr´ec´edente ? 4) En d´eduire la matrice de f dans la base C : Mf,C.
PARTIE II :
Soit la matrice A=
0 0 0 1 0 1 0 1 0
.
1) Trouver une matriceP ∈M3(R)avec des 1 sur la diagonale telle queP.D=A.P avec D=
0 0 0 0 1 0 0 0 −1
.
2) P est la matrice de passage de C `a une base B = {P(X), Q(X), R(X)} de R2[X].
Quelle est cette base B?
2) Exprimer A en fonction de P et D. PuisA2. G´en´eraliser `a An (n ∈N∗).
PARTIE III :
1) Quelles sont les composantes de Q(X) = −1 + 3.X2 dans B.
2) D´eduire de ce qui pr´ec`edefn(−1 + 3.X2)(o`u fn d´esigne la compos´eef◦f◦f◦...◦f n fois) avec n = 100 et n = 101. G´en´eraliser `a n quelconque.
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